Почему на орбите Луны вокруг Солнца нет вогнутости?

Выражение Тернера для радиуса кривизны ρ верно, но в случае (3) ρ = -0,988 а , где Луна находится в первой или последней четверти ( θ = 7,5° или 22,5°). Там, где Луна полная ( θ = 15°), ρ должно быть -0,749 а .

Случай (1) моделирует космический корабль, размещенный на L1 ( b = a /100, ρ = -0,99 a ) или L2 ( b = -a / 100, ρ = -1,01 a ), что примерно в 4 раза больше лунного расстояния от Земли.

В случае (2) значение примера b слишком велико для стабильной орбиты вокруг Земли. Вместо этого мы можем смоделировать геосинхронный спутник с n = 366 и b = a / 3550. Тогда ρ будет +0,0218 a на дневной стороне и -0,0314 a на ночной стороне. Эта траектория попеременно вогнута к Солнцу и от него, напоминая фигуру Тернера 1, но с более короткими волнами.

Между случаями (2) и (3) можно найти такие параметры, что на солнечной стороне Земли знаменатель выражения ρ стремится к нулю и траектория на мгновение становится прямой. Это почти так, если n = 24 и b = a / 575, что соответствует 15,2-дневной орбите на расстоянии 0,677 лунного расстояния.

Любая кривизна траектории объекта возникает из-за ускорения в направлении чистой силы, действующей на него. Мы знаем из Ньютона, что

Что касается Луны, то Солнце примерно в 390 раз дальше Земли, но в 330 000 раз массивнее, поэтому Солнце притягивается примерно в два раза сильнее:$F_\oplus$≈ 0,45$F_\odot$. В полнолуние и Солнце, и Земля притягивают Луну в одном направлении, а общая сила составляет 1,45.$F_\odot$к Солнцу. В новолуние они тянут в противоположные стороны; результирующая сила составляет всего 0,55$F_\odot$но все же к Солнцу. Хотя радиус кривизны колеблется, направление кривизны никогда не меняется.

Для геостационарного спутника на расстоянии 0,11 лунной дистанции$F_\oplus$≈ 38$F_\odot$. На ночной стороне Земли результирующая сила равна 39$F_\odot$к Солнцу. На дневной стороне 37$F_\odot$ подальше от Солнца.

Пролог

Почему на орбите Луны вокруг Солнца нет вогнутости?

Это хороший вопрос, и вы, конечно, абсолютно правы, задаваясь вопросом, как это возможно, чтобы он вращался вокруг Солнца без того, чтобы его траектория была вогнутой по отношению к Солнцу не только в течение небольшого промежутка времени, но и в течение значительной части каждого оборота вокруг Земли.

Отвечать

Ответ заключается в том, что движение Луны всегда вогнуто по отношению к Солнцу , и в статье нет ничего, что говорило бы об обратном. Кривизна обычно не имеет знака. Когда мы рисуем проблемы, мы можем сказать «кривые влево или вправо», но$k = 1/R$где$R$— радиус соприкасающейся окружности , и мы всегда берем положительное значение для$R$. Если мы перейдем к более сложной векторной записи и включим направление движения, мы сможем говорить о направлении вектора углового момента, но это выходит за рамки данной проблемы.

В начале статьи автор прямо говорит, что орбита Луны всегда вогнута к Солнцу:

Однако вследствие того, что расстояние Луны от Земли очень мало по сравнению с расстоянием Земли от Солнца (около 1/400), а также благодаря тому, что она делает около 13 оборотов вокруг Земли в год, путь Луны лучше рассматривать как путь тела, описывающего орбиту вокруг Солнца и постоянно слегка возмущаемого притяжением Земли. Такой путь всегда был бы вогнут к Солнцу, но близко к орбите Земли, пересекая ее два раза в месяц.

Рисунок 1. Неверное представление движения Луны.

Эпилог

Так как же ведут себя расстояния Земля-Солнце и Луна-Солнце, если мы забываем, что они движутся по гигантским кругам?

Если мы забудем, что основная вогнутость есть всегда, и просто посмотрим на флуктуацию, то Земля в течение года будет то приближаться, то отдаляться, а Луна довольно занята! Он постоянно движется то ближе, то дальше. Это не означает, что движение не всегда вогнуто к Солнцу, но это означает, что расстояние между Луной и Солнцем имело более дюжины максимумов и минимумов в год! Кто это придумал?

Питон:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skyfield.api import Topos, Loader       
load = Loader('~/Documents/fishing/SkyData')  # avoids multiple copies of large files
data = load('de421.bsp')
ts = load.timescale()
times = ts.utc(2020, 1, np.arange(367))
sun, earth, moon = [data[x].at(times).position.km for x in ('sun', 'earth', 'moon')]
r_earth = np.sqrt(((earth - sun)**2).sum(axis=0))
r_moon = np.sqrt(((moon - sun)**2).sum(axis=0))
plt.figure()
plt.plot(r_earth - r_earth.mean())
plt.plot(r_moon - r_moon.mean())
plt.title('daily solar distances for Earth and Moon for 2020', fontsize=14)
plt.ylabel('Deviation from mean (km)', fontsize=14)
plt.xlabel('Days in 2020', fontsize=14)
plt.show()

Вот краткий обзор того, как выглядело бы неправильное представление, если бы оно было правильным для каждого запроса в комментариях:

Вот видео и GIF из этого ответа

Подробнее об инструментах, использованных для создания этого видео, читайте в этом ответе .

GIF ниже: Скриншоты из видео YouTube с анимацией точек Лагранжа .

Я думаю, что вы, возможно, упускаете то, что$\rho$представляет собой плавно меняющееся значение. Перечисленные функции непрерывны и везде дифференцируемы, и, как говорится в тексте, знак никогда не меняется. Путь, по которому следует Луна, не является «волнистым», даже если он движется сзади Земли вперед.

Тогда мой вопрос заключается в том, как орбите Луны удается не иметь какой-либо вогнутости, какой бы незначительной она ни была, при переходе от положения полной Луны к положениям новолуния? Разве это не математическая невозможность?

Ответ TL;DR: потому что гравитационное ускорение Луны по отношению к Солнцу примерно в два раза превышает гравитационное ускорение Луны по отношению к Земле, и потому что скорость, с которой Земля вращается вокруг Солнца, примерно в тридцать раз превышает скорость, с которой Луна вращается вокруг Земли. Земля.

Чтобы получить более длинный ответ, необходимо определить, что означает «выпуклость». Это легко сделать для простой замкнутой плоской кривой: простая замкнутая плоская кривая (она же кривая Жордана ) является выпуклой, если для любых двух точек внутри кривой все точки на отрезке, соединяющем две точки, лежат в внутренняя часть кривой.

К сожалению, ни путь Земли, ни путь Луны вокруг Солнца не являются замкнутыми или плоскими. Чтобы решить эти проблемы, я сначала сделаю то, что сделал упомянутый документ, а именно вместо этого исследую компланарные круговые орбиты планеты с точечной массой вокруг звезды и бесконечно малой луны с точечной массой вокруг планеты, так что

• Орбитальная скорость планеты$v_p$относительно звезды обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния$r_p$между звездой и планетой,
• Орбитальная скорость Луны$v_m$относительно планеты обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния$r_m$между планетой и Луной, и
• Константа пропорциональности для планеты$\left(\frac{{v_p}^2}{r_p}\right)$намного больше, чем у Луны$\left(\frac{{v_m}^2}{r_m}\right)$.

При достаточно малых значениях$r_m$, орбитальная скорость Луны вокруг планеты будет превышать скорость планеты вокруг звезды, в результате чего траектория Луны вокруг звезды пересекается сама с собой:

Петли становятся маленькими по мере увеличения орбитального расстояния Луны, в конечном итоге становясь направленными внутрь выступами в точке, где орбитальная скорость Луны вокруг планеты уменьшилась до точки, где она равна орбитальной скорости планеты вокруг Солнца. Хотя эта кривая может быть, а может и не быть замкнутой, она определенно не является выпуклой из-за выступов, обращенных внутрь. Куспиды расширяются в интервалы, где первичная нормаль указывает наружу, поскольку радиус орбиты Луны увеличивается еще больше:

Эта кривая по-прежнему невыпуклая, о чем свидетельствует то, как первичная нормаль попеременно указывает то внутрь, то наружу. кривизна траектории Луны вокруг звезды равна нулю в этих точках перехода: траектория, по крайней мере мгновенно, представляет собой прямую линию. Это происходит потому, что вектор ускорения параллелен вектору скорости в этих точках перехода.

Интервалы, в которых траектория движения Луны вокруг Солнца является вогнутой, а не выпуклой, сокращаются по мере дальнейшего увеличения орбитального расстояния Луны. В какой-то критической точке интервалы вогнутости сжимаются до нуля. Путь выпуклый везде на этом орбитальном расстоянии и за его пределами:

Эти критические точки возникают там, где ускорение Луны по отношению к звезде равно нулю. Это не должно удивлять, поскольку существует очень тесная связь между скоростью, ускорением и кривизной. В частности, кривизна кривой в некоторой точке равна

Обратите внимание, что вектор$\vec v \times \vec a$точки в направлении единичной бинормали. Это предлагает простую метрику, которая распространяется на неплоские орбиты: орбита вокруг некоторой центральной точки, если векторное произведение между скоростью и ускорением относительно этой центральной точки всегда лежит в одной и той же полуплоскости. Еще более простая метрика — проверить, больше ли величина гравитационного ускорения по отношению к звезде, чем по отношению к планете.