Собственно, электрическое и магнитное поля составляют один объединенный тензор, называемый тензором электромагнитного поля . Это тензор ранга 2 и имеет вид *

1. Он антисимметричен (т.$F^{12}=-F^{21}$)
2. Это бесследно
3. Он имеет 16 элементов, но только 6 различных значений.
4. При умножении на его двойственный тензор ($G^{\mu\nu}$) это дает лоренц-инвариантное значение$4\mathbf{B}\cdot\mathbf{E}$
5. Внутренний продукт,$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(B^2-E^2)$, также является инвариантом Лоренца

Вы также можете вывести уравнения Максвелла через тензор, применив$\partial_\mu$к этому. Закон Гаусса и закон Ампера исходят из

_{Я астрофизик, поэтому использую единицы СГС; в системе СИ все электрические поля имеют коэффициент$1/c$.}

Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно иметь полное геометрическое представление об уравнениях Максвелла и о том, что они представляют.

Уравнения Максвелла представляют собой простую систему УЧП. В нотации STA это просто

Мы принимаем как должное, что$F$является бивектором и, следовательно, имеет 6 компонентов, и что$J$является вектором и, таким образом, имеет 4 компонента. Но это уравнение описывает до восьми отдельных уравнений. Почему это?

Для произвольного бивекторного поля$K$, производная$\nabla K$могут иметь как векторные, так и тривекторные члены. То, что уравнения Максвелла имеют только векторный исходный член, на самом деле весьма важно: это часть физического содержания уравнений Максвелла. Мы говорим, что электромагнитное поле определяется только векторным током.

Что произошло бы, если бы существовал тривекторный источник тока? Это будет «магнитный» заряд (магнитные монополи) и связанный с ним ток. Итак, мы сразу можем оценить, что обозначает этот исходный термин.

Но подождите, есть еще! Скажем, тогда у нас были и электрические, и магнитные токи. Какие поля могли их произвести?

Как вы пытались понять, это две другие компоненты поля, которые могут войти в это дифференциальное уравнение. Это скалярное поле и псевдоскалярное поле. Я не знаю, как эти поля будут проявлять себя или что они будут делать.

Так почему бы нам не узнать?

Позволять$\lambda$— скалярное поле. Как это повлияет на уравнения Максвелла только с текущим исходным членом?

Позволять$F = e_0 E + B$, где я неявно обозначил, что магнитное поле является бивектором . Вместо этого вы можете определить его как вектор, а затем рассмотреть$\epsilon_3 B$, но чистый эффект довольно минимален.

Уравнения Максвелла затем распадаются как

а также

Добавление скалярного поля$\lambda$повлияет только на векторную часть с ее градиентом:

Так что в целом это, вероятно, выглядело бы как какой-то дополнительный ток, не связанный с движением электрических зарядов, или, возможно, каким-то образом он был бы неотличим от электрических токов, за исключением того, что он пронизывает все пространство как непрерывная функция. Казалось бы, в каком-то смысле везде есть какие-то токи. Вы можете понять, почему мы даже не рассматриваем существование такого поля. Если бы он не был очень маленьким, мы бы обнаружили его некоторое время назад, так как он взаимодействует с источником электрического тока.

Анализ магнитного псевдоскалярного поля, вероятно, закончился бы тем же путем.

Итак, действительно ли в тензоре Фарадея отсутствуют две дополнительные компоненты: скалярное поле и псевдоскалярное поле? Я бы сказал нет , но если вы обнаружите обратное, вы, вероятно, получите Нобелевскую премию. Удачи с этим. Как я сказал в другом вопросе, не обманывайте себя , думая, что только потому, что$Fx$имеет восемь компонентов, отсутствуют компоненты поля Фарадея. Скорее всего, таких недостающих компонентов нет. Вы можете увидеть это, рассмотрев, что эти компоненты будут делать в ванильных уравнениях Максвелла, как я сделал здесь.

Изменить: некоторые исправления в отношениях между этим скалярным полем и фиксацией датчика.

Это скалярное поле лишит свободы изменения$A$калибровочными преобразованиями, как$\lambda$уточнил бы расхождение$A$. Напомним, что фиксация калибровки зависит от способности выполнять преобразование, т.е.

Для некоторого скалярного поля$\chi$. Это можно сделать, потому что$\nabla \wedge (A + \nabla \chi) = \nabla \wedge A = F$, поэтому поле EM не изменяется.

Но если$\nabla \cdot A = \lambda$, то добавление градиента скалярного поля изменит значение$\lambda$измеримо, во всех случаях, кроме самых простых:

Теперь вы будете ограничены калибровочными функциями$\chi$которые строго гармоничны. Гармонические поля обычно возникают из-за некоторого выбора граничных условий, т. е. это соответствует некоторому выбору граничных условий, а вклад полей от токов не меняется. Конечно, это напрягает воображение, чтобы представить, как можно было бы разумно сделать это для фиксации калибра. И если вы нашли преобразование, которое сохраняет$\lambda$, не оставил бы$F$инвариант в общем.

Таким образом, предполагаемое существование этой функции$\lambda$будет иметь серьезные последствия для фиксации калибра. Это не совсем запрещает это, как я изначально думал, но накладывает серьезные ограничения на исправление, с которыми мы, вероятно, уже столкнулись бы.

Это более расширенный комментарий для комментариев к ответу Кайла.

Например, если бы в электрическом и магнитном поле существовала временная составляющая.

В релятивистском контексте компоненты электрического и магнитного полей не являются компонентами отдельных связанных векторных полей, а скорее являются компонентами тензорного поля 2- го ранга; электрическое и магнитное поля являются частью одного геометрического объекта, а не двух.

Действительно, ключ к этому можно найти в том факте, что магнитное поле в трехмерном пространстве является псевдовекторным полем, а не векторным полем.

Так что на самом деле вопрос «что такое временная составляющая электрического и магнитного поля» на самом деле предполагает ложь ; он предполагает, что электрическое и магнитное поля являются отдельными, но связанными четырехвекторами.

Но это не так .

Поскольку тензор ранга 2 имеет два индекса, мы можем правильно говорить о компоненте времени-времени , компонентах времени-пространства и компонентах пространства-пространства тензора, но не компоненте (ах) времени или пространства .

Сократите тензор Фарадея и его двойственный тензор с 4-скоростью. В единицах$c \equiv 1$,

$E^{\alpha} = F^{\alpha \beta} U_{\beta}$

$B_{\alpha} = \ast F_{\alpha \beta} U^{\beta}$

куда$\ast F_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} \ \varepsilon_{\alpha \beta \mu \nu} \ F^{\mu \nu}$.

В локальной системе Лоренца (с$c \equiv 1$), 4-скорость может быть записана$U_{\alpha} = \gamma \left( 1, \mathbf{v} \right)$, а электрические и магнитные 4-векторы можно записать в более привычных обозначениях,

$E^{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}, \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \ \right)$

$B_{\alpha} = \gamma \left( \ \mathbf{v} \cdot \mathbf{B}, \mathbf{B} - \mathbf{v} \times \mathbf{E} \ \right)$

Фарадей$2$-тензор$F$описывающая напряженность электромагнитного поля, является антисимметричной, поэтому в$1\!+\!3$размеры для любых дополнительных компонентов, кроме$3$электрические и$3$магнитные. Это просто, но почему оно антисимметрично?

Намек на природу электромагнитного поля можно найти, если выразить уравнения Максвелла через тензор Фарадея$F$и тензор Максвелла$H$:

Что примечательно в этой форме, так это то, что ни одно из уравнений Максвелла вообще не заботится о метрике пространства-времени. Скорее, метрика появляется как часть звезды Ходжа в отдельном законе, связывающем тензоры Максвелла и Фарадея:

Если трехвекторное электрическое и магнитное поля исходят из четырехкомпонентного четырехпотенциала, то существует ли четвертая составляющая электрического и магнитного поля?

Теперь давайте превратим приведенное выше наблюдение в аргумент. Электромагнетизм — это не гравитация, поэтому, хотя в какой-то момент нам может понадобиться метрика, чтобы превратить ее в полностью предсказательную теорию, мы должны иметь возможность представить уравнения, описывающие само электромагнитное поле, в форме, независимой как от метрики, так и от связи. Следовательно, уравнения электромагнетизма должны иметь смысл, даже если пространство-время не имеет ни метрики, ни связи. Что осталось помимо топологии , так это дифференциальная структура .

Вывод: Электромагнетизм должен описываться дифференциальными формами, а дифференциальные формы соответствуют ковариантным антисимметричным тензорам. В$n$габариты, количество независимых компонентов$k$-форма$C(n,k)$. Таким образом, если мы знаем, что электрические и магнитные поля смешиваются при преобразованиях по системам отсчета и, следовательно, должны быть частями одного и того же тензора/$k$-форма, общее количество компонентов для$n=4$должен быть одним из$\{1,4,6\}$.

Имея$4$как для электрического, так и для магнитного поля$8$, так что это не идет.

Кстати, если мы также уже знаем, что напряженность поля$2$-форма имеет потенциал,$F = \mathrm{d}A$, тогда$A$должен быть$1$-form и иметь четыре независимых компонента... но мы не должны были ожидать, что вся эта кажущаяся свобода будет в первую очередь физической, потому что$A\mapsto A+\chi$для любого$1$-форма$\chi$с$\mathrm{d}\chi = 0$производит то же самое$F$. Обратите внимание, что$F = \mathrm{d}A$подразумевает, что$\mathrm{d}F = 0$, что является законом Гаусса для магнетизма и законом индукции Фарадея.

Ответы Альфреда Центавра и Кайла Каноса содержат утверждения о фактах, но в задаче скрыта более скрытая геометрия. Это правда, что векторы электрического и магнитного поля не являются истинными векторами, а скорее псевдовекторами, как заявил Альфред Центавр, которые принадлежат тензорам поля ранга 2, как заявил Кайл Канос. Однако Кайл Канос упомянул, что поля получены из внешних расчетов.$\partial^\mu A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$, что говорит о том, что ЭМ-поля можно понимать как возможные бивекторы четырехмерного пространства https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector . Используя переназначение двойного hodge https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual , можно было бы переназначить компоненты бивектора на четыре компонента четырехвектора пространства-времени, чтобы сократить нотацию. Это подразумевало бы возможный четвертый компонент ЭМ-поля.