Рассчитайте электрическое поле движущегося бесконечного магнита без форсирования

Во-первых, неизбежно получаются одни и те же решения, если

1. он решает задачу в системе покоя плиты, а затем с помощью Лоренца преобразует результат в систему координат, в которой плита движется;

2. или если решать задачу непосредственно в кадре, где движется плита.

Причина в том, что уравнения Максвелла ковариантны относительно преобразований Лоренца. Поэтому, если они удовлетворены в одном кадре, они будут удовлетворены и в любом кадре, связанном с бустами. Однако мы должны правильно преобразовать все намагниченности и материальные отношения и т. д. и добавить соответствующие движущиеся источники, что будет основной тонкостью в тексте ниже.

В вашей конкретной задаче можно сказать несколько общих утверждений о магнитных (и электрических) полях, не задумываясь. Например, если$\vec M$находится в$x$-направлении, это означает, что электроны можно считать вращающимися в$yz$-самолет. Возьмем поверхность плиты, параллельную$yz$-плоскость - т.е. одна грань, принадлежащая$x=x_0$самолет. Совершенно очевидно, что неизбежно будет составляющая магнитного поля.$\vec B$в$x$-направление вблизи внешней стороны поверхности. Если повысить$B_x$магнитное поле в$z$-направление, неизбежно будет ненулевое электрическое поле в$y$-направление,$E_y$.

В кадре, где движется плита, у нас как бы нет источников электричества.$\rho$принадлежащий$\mbox{div}\,\vec D=\rho$Закон Гаусса и отсутствие правой части уравнения Максвелла-Фарадея,$\nabla\times \vec E = -\partial \vec B / \partial t$. Итак, поскольку источников электричества нет, можно подумать, что электрическое поле должно исчезнуть. Однако это ошибочный аргумент, потому что форма уравнений Максвелла, которую мы здесь используем, - это только «уравнения Максвелла для покоящихся материалов».

В частности, закон Гаусса оптимизирован для$\vec D$который мы воображаем дать$\epsilon \vec E$, и является «чисто электрическим». Однако для движущегося материала должен быть дополнительный член типа$\vec v\times \vec M$включен в$\vec D$. Поскольку последний имеет ненулевое значение$y$-компонента в движущейся системе отсчета будет ненулевая$E_y$в этом кадре тоже.

Точная форма уравнений Максвелла в движущейся среде может быть запутанной и незнакомой, поэтому я думаю, что было бы неплохо попытаться преобразовать локальную физику в систему покоя любого материала, когда это необходимо, и, возможно, преобразовать Лоренца обратно. Всякий раз, когда возникали тонкости, приходилось пересматривать вывод «макроскопических уравнений Максвелла» (для материалов) и переделывать его с возможностью перемещения материалов.

Микроскопические уравнения Максвелла

В качестве альтернативы вы всегда можете попытаться использовать микроскопические уравнения Максвелла, которые включают закон Гаусса в форме$\vec \nabla\cdot \vec E = \rho / \epsilon_0$. Но в таком виде$\rho$включает не только бесплатные расходы, но и «микроскопические расходы», связанные с материалом.

Поскольку плита имеет ненулевые значения$j_y$и$j_z$(токи внутри материала) - напомним, что электроны как бы вращаются в$yz$-плоскостной (для получения магнитного$x$-поле), правда и то, что когда мы форсируем систему в$z$направление, соответствующее кратное$j_z$даст ненулевое значение$\rho$(микроскопическая плотность заряда). Это будет источником$E_y$поле обсуждалось выше. В частности,$j_z$будет пропорционально$[\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$в каркасе плиты, а это значит, что будет$\rho \sim [\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$в кадре, где плита движется. Это это$\rho$это вызовет ненулевое значение$E_y$прямо вне материала (в кадре, где движется плита).

Очень простой способ приблизиться к этому — признать, что электрическая и магнитная поляризации$(-\textbf{P},\textbf{M})$преобразуются точно так же, как поля$(\textbf{E},\textbf{B})$(Гниздо 2011). В лабораторной рамке намагниченная пластина также электрически поляризована, так что явно присутствует неисчезающее электрическое поле. Один хороший способ увидеть это$(-\textbf{P},\textbf{M})$ необходимо смешать, заключается в том, что в противном случае мы получили бы именно тот парадокс, который описан в вопросе.

Чтобы увидеть это$(-\textbf{P},\textbf{M})$преобразуется точно так же, как$(\textbf{E},\textbf{B})$, достаточно заметить, что при разбиении полей$(\textbf{E},\textbf{B})$в их макроскопическую часть$(\textbf{D},\textbf{H})$и их микроскопическая часть$4\pi(-\textbf{P},\textbf{M})$, это макроскопически-микроскопическое расщепление не зависит от системы отсчета.

Хниздо и Макдональд, «Поля и моменты движущегося электрического диполя», 2011 г., http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/movingdipole.pdf