Вывод радиуса Шварцшильда с использованием релятивистской массы

Ньютоновский вывод вовсе не вывод. Это случайное следствие способа определения радиальной координаты Шварцшильда. Попытка получить радиус Шварцшильда таким образом не дает никакого физического понимания.

Если мы начнем с плоского пространства-времени, то метрика будет:

Если мы теперь введем слабое гравитационное поле, где слабое означает, что гравитационный потенциал на единицу массы$\Phi \ll c^2$, то мы можем использовать приближение, называемое пределом слабого поля, для описания кривизны, соответствующей слабому гравитационному полю. В этом приближении метрика принимает вид:

Помните, что это приближение справедливо только тогда, когда$\Phi \ll c^2$, но если мы проигнорируем это и ошибемся, несмотря ни на что, мы придем к выводу, что существует координатная сингулярность, когда:

или:

Обе части этого уравнения представляют собой энергию на единицу массы, и подстановка массы дает, возможно, более знакомый результат:

именно этот аргумент используется в классическом подходе к расчету, когда скорость убегания достигает скорости света.

Если переписать уравнение слабого поля (1) в полярных координатах:

затем подставьте ньютоновское выражение для гравитационного потенциала:

получаем что-то похожее на метрику Шварцшильда:

Но ньютоновская радиальная координата$R$не совпадает с радиальной координатой Шварцшильда$r$. Первое — это расстояние, измеренное от центральной точки до положения, отмеченного значком$R$в то время как последний является окружностью круга, проходящего через позицию, отмеченную$r$деленное на$2\pi$. Однако так уж получилось, что способ определения радиальной координаты Шварцшильда означает, что если мы заменим$R$к$r$получаем точный результат:

И именно поэтому вывод Ньютона дает правильный результат для$r_s$. Это просто совпадение, и его вообще не следует рассматривать как производное.

Джон Ренни, я думаю, следует уточнить, что при переходе от второй метрики к первой сначала выполняется преобразование$dx^2+dy^2 + dz^2=dr^2 + r^2 d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, что приведет вас к метрике

$ds^2= -(1+2\phi) dt^2 + \frac{1}{1+2\phi}\left(dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2\right)$

Тогда, чтобы избавиться от коэффициентов на$r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, мы должны заменить$r$с$R$, где$r^2(1+\phi)=R^2$. По удачному стечению обстоятельств, если$\phi= -C/r$потом оказывается что$dr=dR\left(1+\frac{1}{2}\phi - \frac{1}{2}\phi+O(\phi^2)\right)= dR\left(1+O(\phi^2)\right)$поэтому в линейном порядке мы приходим к вашей третьей метрике.

Это интересно, однако я считаю, что это совпадение.

По существу релятивистская кинетическая энергия находится с гамма-фактором Лоренца и импульсом:

$E_K[_R] = \int v dp = \int v d(m\gamma v) = ......$ $E_K[_R] = m\gamma c^2 - E_0$

$E_0 = mc^2$

Найдите гамму, используя биномиальную аппроксимацию или взяв первые два члена разложения Тейлора для обратного квадратного корня .

$\gamma = 1 + 1/2 v^2/c^2$

Саб$\gamma$в$E_K[_R]$

$E_K[_R]$"="$mc^2(1 + 1/2 v^2/c^2)$-$mc^2$

Уменьшается до$E_K[_R] = 1/2mv^2$

Таким образом:$E_K[_R]$"="$E_K$.

Форма метрики SC должна измениться, если вы хотите применить релятивистски правильный закон сохранения энергии в отличие от классической версии. Дело не только в переопределении расстояния масштабирования. В частности, вам нужно заменить (1-rs/r) на (1-rs/2r)^2. Результирующая метрика не является вакуумным решением, но она приблизительно такова в пределе слабого поля, а скаляр кривизны по-прежнему равен нулю. Я не специалист по GR, но те, с кем я разговаривал, возражают против этой формулировки по разным причинам, которые я не совсем понимаю. Я нахожу новую метрику интригующей, потому что она вводит «космологическую переменную» в метрический тензор, поэтому вам не нужна специальная константа для учета расширения Вселенной. Однако я не уверен, что это соответствует данным Хаббла. Чтобы узнать больше об этом, ознакомьтесь с:https://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?topic=69595.0