Сколько Delta-V потребуется, чтобы избежать гравитационного влияния Земли, не выходя на орбиту?

Я предположил мета-Falcon 9 Full Thrust и выстрелил прямо на невращающуюся Землю без атмосферы.

                          1st stage    2nd stage    coast stage
                          ---------    ---------     ---------
       total mass (kg)      422000       128000         28000
  propellant mass (kg)      370000       108000
             Isp (sec)         300          350
exhaust velocity (m/s)        2943         3433.5
       burn time (sec)         160          400          1800
    mass flow (kg/sec)        2312.5        270

Для 1-го и 2-го этапа я интегрировал

Как я и подозревал :

Запуск «прямо вверх», вероятно, будет намного дороже.

На этом сайте так много ответов, которые объясняют идею о том, что выход на орбиту — это движение в сторону достаточно быстро и достаточно быстро. Вот что произойдет, если вы этого не сделаете.

Я назвал миссию «Falcon Nein», потому что даже без дополнительной полезной нагрузки Falcon 9 Full Thrust, запущенный прямо вверх, упадет обратно на Землю, как 1-я ступень, так и ненагруженная 2-я ступень , будь то африканская или европейская .

Полчаса гравитации при отсутствии орбиты на самом деле обходятся ужасно дорого.

Я смоделировал пять «настроек» земной гравитации; 100%, 75%, 50%, 25% и ноль.

Скрипт Python:

def deriv_1(X, t):
    x, v  = X
    F_t   = v_ex_1 * mdot_1
    m     = m_tot_1 - t * mdot_1 + m_tot_2
    acc_t = F_t / m
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_t + acc_g))

def deriv_2(X, t):
    x, v  = X
    F_t   = v_ex_2 * mdot_2
    m     = m_tot_2 - (t-t_burn_1) * mdot_2
    acc_t = F_t / m
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_t + acc_g))

def deriv_3(X, t):
    x, v  = X
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_g))


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

GMe = 3.986E+14  # m^3/s^2
Re  = 6378137.   # m

GMs = GMe * np.linspace(0, 1, 5)

# Setup:

# first stage
m_fuel_1  = 370000.       # kg
m_tot_1   = 422000.       # kg
t_burn_1  = 160.          # sec
Isp_1     = 300.          # sec
v_ex_1    = Isp_1 * 9.81  # m/s
mdot_1    = m_fuel_1 / t_burn_1  # kg/sc

# second stage
m_fuel_2  = 108000.       # kg
m_tot_2   = 128000.       # kg
t_burn_2  = 400.          # sec
Isp_2     = 350.          # sec
v_ex_2    = Isp_2 * 9.81  # m/s
mdot_2    = m_fuel_2 / t_burn_2  # kg/sc

# coast stage
t_coast   = 1800.         # sec

# Go!
trajectories = []

for GM in GMs:

    traj = []

    # first stage
    X0_1   = np.array([Re, 0.0])
    time_1 = np.linspace(0, t_burn_1, 101)

    answer_1, info = ODEint(deriv_1, X0_1, time_1, full_output=True)
    x_1, v_1 = answer_1.T

    traj.append((time_1, (x_1, v_1)))

    # second stage
    X0_2   = answer_1[-1]
    time_2 = np.linspace(0, t_burn_2, 101) + time_1[-1]

    answer_2, info = ODEint(deriv_2, X0_2, time_2, full_output=True)
    x_2, v_2 = answer_2.T

    traj.append((time_2, (x_2, v_2)))

    # coast stage
    X0_3   = answer_2[-1]
    time_3 = np.linspace(0, t_coast, 201) + time_2[-1]

    answer_3, info = ODEint(deriv_3, X0_3, time_3, full_output=True)
    x_3, v_3 = answer_3.T

    traj.append((time_3, (x_3, v_3)))

    trajectories.append(traj)

if True:
    plt.figure()

    for traj in trajectories:

        for (time, (x, v)), color in zip(traj, ('-b', '-g', '-r')):

            plt.subplot(2, 1, 1)
            plt.plot(time, 0.001 * (x-Re), color)

            plt.subplot(2, 1, 2)
            plt.plot(time, 0.001 * v, color)

    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.ylabel('altitude (km)', fontsize=16)
    plt.xlabel('time (sec)', fontsize=16)
    plt.ylim(0, 15000)

    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.ylabel('speed (km/s)', fontsize=16)
    plt.xlabel('time (sec)', fontsize=16)

    plt.suptitle('Vertical Launch ("Falcon Nein") GM = (1, 0.75, 0.5, 0.25, 0) x GMe', fontsize=16)

    plt.show()

Разница (и это разница, а не соотношение) между прямым подъемом для побега и временным переходом на низкую парковочную орбиту, а затем на тот же побег составляет порядка 100 м/с. Это стоимость поднятия перицентра, что вам не нужно было бы делать при прямом всплытии.

Так что стоимость на самом деле не так уж велика по сравнению с ~9 км/с, чтобы выйти на орбиту.

Это предполагает эффективный прямой подъем, который все еще выглядит как выход на орбиту, за исключением того, что перицентр не поднимается. Вы хотите, чтобы ваша ракета стреляла как можно ближе к Земле, чтобы максимизировать эффект Оберта. Таким образом, вы бы не пошли «просто прямо вверх», если бы вы не могли волшебным образом завершить свое горение сразу за пределами атмосферы.

Согласно Википедии :

Для сферически-симметричного массивного тела, такого как звезда или планета, скорость убегания этого тела на заданном расстоянии рассчитывается по формуле:

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

где где G — универсальная гравитационная постоянная, M — масса тела, от которого нужно убежать, r — расстояние от центра масс тела до объекта.

Если ввести значения для поверхности Земли, получится 11,186 км/с.

Эта формула предполагает, что Земля не вращается. Если вы хотите максимально использовать вращение Земли, вам придется стартовать прямо на восток от экватора. Теоретически это сэкономит вам 465 м/с. Если бы вы стартовали прямо на запад, вам потребовалось бы на 465 м/с больше.

Но одна вещь, которую эта формула не учитывает, — это энергия, которую вы теряете из-за аэродинамического трения, пока еще находитесь в атмосфере. Атмосфера делает запуск прямо на восток явно невозможным. Вот почему запуск ракеты в реальном мире является компромиссом: сначала вы запускаете прямо вверх (относительно поверхности), находясь в нижних слоях атмосферы, а затем поворачиваете на восток, когда атмосфера становится тоньше.

Он также предполагает немедленное ускорение. Чем больше времени вам нужно для достижения этой скорости, тем большее ускорение вы теряете при падении.

Но эти два фактора сложно обобщить, потому что они зависят от конструкции вашего судна.

Самая большая проблема здесь - потеря гравитации. Если бы вы могли каким-то волшебным образом получить эти 11,186 км/с одновременно (и игнорируя атмосферу), это привело бы вас к траектории побега.

Однако в реальном мире для набора этой скорости требуется несколько минут. Пока вы делаете это, вы также тратите топливо на то, чтобы не отступить. Это чистая трата.

Пока вы движетесь прямо вверх, вы тратите 9,8 м/с^2 на борьбу с гравитацией. (Это будет уменьшаться по мере того, как вы поднимаетесь выше, но эффект невелик в области, в которой вы работаете.) Таким образом, вы наклоняете свою ракету, как только можете, - вы хотите набрать как можно большую горизонтальную скорость . как можно скорее. В то время как орбитальная скорость компенсирует весь ваш вес, любое количество горизонтальной скорости компенсирует его часть. Каждый м/с, который вы сэкономите таким образом, — это м/с, которые ваша ракета не должна обеспечивать. Вы должны сбалансировать потери на лобовое сопротивление из-за того, что они слишком малы, с дополнительными потерями силы тяжести, будучи слишком высокими.

Также обычно возникает проблема с обтекателями. Они большие и тяжелые, вы хотите избавиться от них как можно скорее, но вы должны быть достаточно высоко, чтобы ваша теперь не аэродинамическая ракета не стала проблемой, когда они исчезнут. Это заставляет ракеты летать немного выше, чем в противном случае.