По-настоящему обратимый термодинамический процесс должен всегда бесконечно мало смещаться от равновесия, и поэтому для его завершения требуется бесконечное время. Однако, если я буду выполнять процесс медленно, я смогу приблизиться к обратимости. Мой вопрос: «Что определяет, когда что-то работает медленно?»
Для определенности возьмем изолирующий цилиндрический поршень с площадью поперечного сечения и исходная длина . Внутри находится идеальный газ с молекулы газа с массой на молекулу . Температура , а показатель адиабаты равен .
Я планирую адиабатически расширить поршень до длины , не торопясь сделать это. если я возьму достаточно долго, процесс будет почти обратимым. Однако, быть длинным не означает «одну минуту» или «один год». Это означает для некоторых
Что такое ?
Из чисто размерных соображений я предполагаю, что отношения примерно такие
но у меня нет сильного физического объяснения.
Редактировать Осмысленный ответ должен позволить мне сделать следующее: я беру определенный пример поршня и пытаюсь несколько раз расширить его, поместив в коробку, чтобы я мог измерить тепло, выделяемое в окружающую среду. Я вычисляю изменение энтропии во Вселенной для расширений. После нескольких расширений, каждое из которых медленнее предыдущего, я наконец-то получаю для Вселенной до числа, которое я считаю достаточно малым. Далее я планирую повторить эксперимент, но с новым поршнем, который имеет другие размеры, другую начальную температуру и т. д. Исходя из моих результатов для предыдущего поршня, как я могу выяснить, сколько времени мне потребуется, чтобы расширить новый до достичь аналогичной степени обратимости с первой попытки?
Для справки, давление
а скорость звука
и я рад получить ответ в терминах этих или других производных величин. Формулы для энтропии и термодинамических потенциалов можно найти в статье в Википедии .
Я студент, поэтому, пожалуйста, укажите в кровавых подробностях все, что я сделал неправильно.
Для того чтобы процесс был квазистатическим, масштабы времени эволюции системы должны быть больше, чем время релаксации. Время релаксации – это время, необходимое системе для возвращения к равновесию.
У нас адиабатический процесс, поэтому в каждой точке должно сохраняться равновесие, т. е.
(Работая в рамках справедливости кинетической теории идеальных газов и игнорируя трение)
Импульс, полученный поршнем:
Молекула будет воздействовать на поршень каждые
Сила, действующая на поршень, равна Давление будет и для такие молекулы
Итак, в данный момент где поршень сместился на , у нас есть
Расширение в серии
Замена
Если мы хотим, чтобы наш процесс был обратимо адиабитным хотя бы до первого порядка, мы должны иметь сверху
Теперь пришло время до столкновения для начального случая. Расследование вторых заказов
Глядя только на условия серии
Это было бы верно для
Теперь это «время до следующего столкновения» для молекулы газа, ударяющей по поршню. Для сохранения обратимости хотя бы до второго порядка поршень должен быть перемещен из к во время так что системные переменные следуют адиабатической кривой.
The можно рассчитать из распределения Максвелла
Это не прямой ответ на вопрос, а несколько иной взгляд на это адиабатическое расширение. Я не уверен, насколько это правильно.
Итак, предположим, что поршень движется (в направлении -ось) бесконечно медленно со скоростью . Пусть молекула летит к поршню со скоростью . По отношению к поршню его скорость будет . Нормальная составляющая (относительный поршень) относительной скорости равна . Обозначим через скорость молекулы относительно поршня после отражения. Тангенциальная составляющая относительной скорости в результате отражения не меняется, а нормаль меняет знак.
Приращение кинетической энергии всего газа:
Потому что зависит от давления и температуры, прямое интегрирование дифференциального уравнения невозможно. Но при небольших смещениях поршня можно считать, что плотность примерно постоянна, я думаю.
Хорошим ответом на ваш вопрос действительно было условие скорости поршня намного ниже средней скорости молекулы. Чтобы понять почему, нужно изучить кинетику и теории жидкости. Из уравнения Больцмана можно вывести уравнения жидкости, которые приводят к классической термодинамике. Переход от шкалы кинетики к шкале жидкости действителен только в том случае, если макроскопическая шкала времени и макроскопические длины градиента намного больше, чем микроскопическое время релаксации и длина свободного пробега частицы.
Самое смешное, что ответ на ваш конкретный вопрос даже не «одна минута» или «один год». Расширение/сжатие газов эффективно обратимо для режимов, где справедливо гидродинамическое описание, то есть движение газа описывается уравнениями Навье-Стокса.
Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить, как выводится упомянутая вами формула скорости звука:
Вы предполагаете, что воздух сжимается/расширяется адиабатически и предполагает отсутствие диссипации, то есть работа, совершаемая давлением, полностью уходит на внутреннюю энергию, и наоборот. И вы приходите к уравнению акустической волны. Таким образом, расширение/сжатие газа обратимо в той мере, в какой распространение звука описывается обычным волновым уравнением.
Основная причина этого явления заключается в том, что для газов вторая вязкость равна нулю в предположениях кинетической теории. Фактическое значение больше нуля, но на практике им пренебрегают. В гидродинамике вторая вязкость измеряет производство энтропии из-за расширения/сжатия:
Здесь скорость жидкости. Так что не расширение вызывает необратимость газа в поршне. Есть два других источника энтропии в потоке жидкости. Первый – теплопроводность:
Если у вас нет температурных градиентов, это ноль.
Другой возникает из-за сдвиговой вязкости:
Выражение выше записано в декартовых координатах, повторяющиеся индексы означают суммирование, .
Я думаю, что можно построить поршень, в котором не возникнет касательных напряжений у стенки, поэтому производство энтропии будет равно нулю.
Чтобы ответить на ваш вопрос, мы можем предположить, что расширение газа в поршне обратимо, если производимая энтропия мала по сравнению с общей энтропией.
это условие для .
Опять же, приведенное выше объяснение верно всякий раз, когда справедливо гидродинамическое описание, если у вас есть ударные волны, описание континуума не применимо для части области.
Предположим быть ненулевым. Чем произведенная энтропия была бы
Таким образом, медленное расширение действительно уменьшает производимую энтропию.
Георг
Марк Эйхенлауб
Мартин Гейлз
Марк Эйхенлауб