Этот ответ на вопрос о том, почему ньютоновская кинетическая энергия квадратична по скорости, показывает, что если потеря КЭ при неупругом столкновении инвариантна при ньютоновском ускорении, она должна увеличиться в четыре раза, когда скорость удваивается. Простой расчет показывает, что знаменитый из формулы следует неизменность этой потери. Если масса скорость изменяется от к в то время как масса скорость изменяется от к , общее снижение КЭ составляет , который инвариантен относительно . Однако я не знаю другой причины ожидать такой неизменности. Мне интересно, можем ли мы мотивировать это без формулы, чтобы мы могли использовать рассуждения по приведенной выше ссылке, чтобы затем вывести квадратичное соотношение KE-скорости.
Справедливости ради, связанный ответ также утверждает, что сохранение энергии в приближении свободного падения SUVAT мотивирует такое квадратичное соотношение. На самом деле из него можно вывести не только пропорциональность , но точное выражение, включая фактор. Теоретически мы можем вывести формулу таким образом, затем проверить инвариантность, а затем указать, что инвариантность имеет последствия, упомянутые ранее. Но это последствия, о которых мы уже знали на тот момент. Чтобы действительно исходить из инвариантности, нам нужно знать, почему этого следует ожидать. (В частности, изменение КЭ отдельного тела не является инвариантным; даже знак изменения не является инвариантным.)
Можно вывести форму кинетической энергии, используя сохранение и относительность Галилея, рассматривая упругое столкновение [1]. Это обходит проблему обоснования того, почему следует предполагать, что «тепло», выделяемое при неупругом столкновении, является инвариантным относительно системы отсчета. (Это предположение особенно нежелательно, потому что оно неверно в контексте специальной теории относительности).
Преимущество этого подхода в том, что он обобщается на специальный релятивистский контекст. В этом случае обнаруживается, что (i) релятивистская энергия частицы равна , и (ii) безмассовая энергия («тепло») обладает импульсом, и что такая безмассовая энергия и импульс преобразуются как четырехвектор.
[1] П. Гоял, Вывод классической механики в энергетической структуре через сохранение и теорию относительности, Основы физики 50 1426—1479 (2020). Полный текст: https://rdcu.be/b73po
На самом деле это слабое место интересного аргумента.
Нет очевидных оснований полагать, что потеря после столкновения тел , это тепло, которое может быть извлечено при столкновении тела с тяжелой стационарной стенкой является галилей-инвариантным. Не существует очевидного способа преобразовать потерю энергии, которая происходит при столкновении (выделенное тепло), в другую систему отсчета с помощью преобразований Галилея.
Один из способов спасти аргумент — больше полагаться на эксперимент, а не на эту идею неизменности генерируемого тепла. Если мы определим как тепло, которое может быть выделено при столкновении со стеной, мы можем просто придерживаться этого предположения и использовать его: мы можем измерить это тепло для тел одинаковой массы но разные и открыть совершенно универсальный закон, который пропорциональна .
Зная , это вопрос использования алгебры и преобразований Галилея к скоростям и к полной энергии чтобы выразить потерю энергии, а затем, используя закон сохранения импульса, сделать вывод, что потеря энергии при столкновении между телами действительно галилей-инвариантна.
Мне кажется такой способ мышления более естественным/физическим - мы начинаем с физических наблюдений и измерений, а затем используем математику, чтобы открыть новый интересный факт (инвариантность потери энергии).