Отражается ли свет, если падает точно под критическим углом?

Когда человек находится точно под критическим углом, свет ведет себя так, что его можно интерпретировать как «нечто среднее между» преломлением и отражением: он продолжается в направлении, касательном границы среды.

Когда угол меньше критического угла, мы получаем преломление. Под критическим углом,$\theta_2$преломления становится 90 градусов, поэтому мы получаем касательное распространение. При углах больше критических имеет место разрыв: уравнение для$\theta_2$(арксинус чего-то) не имеет решений, поэтому мы получаем полное внутреннее отражение.

В этих фактах нет ничего, что противоречило бы обратимости или симметрии по отношению к обращению времени законов физики. Если мы обратим поведение во времени под критическим углом, то действительно будет похоже, что свет должен «случайно выбрать» момент, когда он входит в среду с более высоким показателем преломления, и не существует какого-либо единственного способа выбрать предпочтительный момент.

Но это не проблема, потому что вероятность того, что направление света «точно» касается границы, равна нулю. В реальной ситуации свет будет представлять собой суперпозицию лучей с углами$\theta_2=\pi/2-\epsilon$для различных малых значений$\epsilon$, и для любого отличного от нуля$\epsilon$, свет будет очень хорошо знать, когда он достигнет границы. Таким образом, ваша проблема возникает только в незначительной, «нулевой мере» части ситуации, так что это не более чем проблема «нулевой меры». Когда добавляется соответствующая степень реализма и указываются точные углы и отклонения от «идеальной модели», проблема исчезает.

Правильнее сказать, что лучи света на границах распадаются на отраженные и преломленные субкомпоненты, а не отражают или преломляют. Выяснение этого достигается путем тщательного изучения граничных условий электрического и магнитного полей на границе раздела. Результат оказывается зависимым от поляризации и известен как уравнения Френеля.

Согласно уравнениям Френеля, как и ожидалось, часть света проходит на границе, а часть отражается на границе, даже ниже критического угла. В момент, когда вы достигаете критического угла и луч света «идет горизонтально», коэффициент передачи падает до нуля. Таким образом, хотя существует «раствор», который движется горизонтально, ровно 0% падающего светового луча будет делать это. Коэффициент отражения достигает 100% точно под критическим углом.

Более строго, считайте, что анализ граничных условий на границе раздела требует, чтобы две поляризации света имели коэффициенты отражения:

$$R_{s} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta_{i} -n_{2}\cos\theta_{t}}{n_{1}\cos\theta_{i}+n_{2}\cos\theta_{t}}\right)^{2}$$

$$R_{p} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta_{t} -n_{2}\cos\theta_{i}}{n_{1}\cos\theta_{t}+n_{2}\cos\theta_{i}}\right)^{2}$$

Затем считайте, что мы находимся под критическим углом, что говорит нам о том, что$\theta_{t} = \pi/2$а также$n_{2} = n_{1}\sin\theta_{i}$(далее удаляю$i$индекс). Тогда у нас есть:

$$R_{s} = \left(\frac{n_{1}\cos\theta-0}{n_{1}\cos\theta+0}\right)^{2}=1$$

а также

$$R_{p} = \left(\frac{0-n_{2}\cos\theta}{0+n_{2}\cos\theta}\right)^{2}=1$$

Под сохранением энергии это означает, что коэффициенты пропускания равны нулю, и свет не преломляется под этим углом.

В то время как существующие ответы не являются неправильными, они затрагивают много важных деталей, и было бы неплохо установить рекорд по нескольким пунктам.

В частности, что касается обратимости во времени, эта диаграмма вводит в большое заблуждение:

Почему это вводит в заблуждение? Ну, потому что предполагается, что вы можете работать в лучевом приближении, а это не работает, когда вы находитесь под критическим углом. Вся оптика — это волновая оптика, и во многих случаях она сводится к лучевой оптике, но это не совсем одна из них.

Итак, давайте немного отступим и вернемся к взгляду волновой оптики на отражение и преломление, который обычно известен как формализм уравнений Френеля . Здесь мы пытаемся установить границу между двумя средами и «выстрелить» снизу входящей плоской волной,

$$\mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{in}} e^{i(\mathbf k_\mathrm{in}\cdot \mathbf r- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ а затем ищем соответствующий набор отраженных и прошедших волн, $\mathbf E_\mathrm{re}(\mathbf r,t)$а также $\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t)$, так что объединенные поля ( $\mathbf E_\mathrm{in}(\mathbf r,t)+\mathbf E_\mathrm{re}(\mathbf r,t)$в среде $1$а также $\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t)$в среде $2$) будет решением уравнений Максвелла.

Теперь кровавые детали представлены во множестве учебников, поэтому я не буду повторять их здесь (но см., например, §7.3 у Джексона для более подробной информации). Однако это сводится к следующему:

• Проведение границы в$xy$плоскости, вы предполагаете, что входящий волновой вектор может быть записан как$\mathbf k_\mathrm{in} = (k_x,0,k_z)=k_\mathrm{in}(\sin(\theta_\mathrm{in}),0,\cos(\theta_\mathrm{in}))$.
• Отраженный волновой вектор выходит на$\mathbf k_\mathrm{re} = (k_x,0,-k_z)$.
• Волновой вектор$\mathbf k_\mathrm{tr}$на передаваемую волну накладываются два ограничения:
  • Его$x$Компонент должен соответствовать входящему и переданному волновым векторам, чтобы волны совпадали на границе.
  • Его площадь должна подчиняться$\frac{1}{n_2^2}\mathbf k_\mathrm{tr}^2=\omega^2=\frac{1}{n_1^2}\mathbf k_\mathrm{in}^2$, чтобы переданная плоская волна удовлетворяла волновому уравнению на той же частоте, что и входящая волна (где частоты должны совпадать, чтобы волны всегда были синхронизированы на границе). Следовательно, это означает, что мы требуем $$k_{z,\mathrm{tr}}^2 +k_x^2 = \frac{n_2^2}{n_1^2}\left(k_x^2+k_z^2\right),% k_{z,\mathrm{tr}} = \pm \sqrt{ \frac{n_2^2}{n_1^2}k_z^2 +\frac{n_2^2-n_1^2}{n_1^2}k_x^2 }.$$ и вы работаете это оттуда.
• Затем вы вычисляете амплитуды, но это не относится к нашим целям.

Так что там с полным внутренним отражением? Ну, когда мы говорим, что

$$k_{z,\mathrm{tr}}^2 +k_x^2 = \frac{n_2^2}{n_1^2}\left(k_x^2+k_z^2\right),$$ если $k_x$достаточно велико по отношению к $k_z$, а также $n_2$слишком мал по отношению к $n_1$, есть шанс, что правая часть будет меньше, чем $k_x$, и единственный способ приспособиться к этому - иметь отрицательный $k_{z,\mathrm{tr}}^2$. Значит ли это, что нам нужно выбросить весь формализм в окно? Не совсем — это просто означает, что по другую сторону от полного внутреннего отражения мы найдем затухающую волну , которая экспоненциально затухает при удалении от границы.

Таким образом, если вы пишете

$$k_{z,\mathrm{tr}} = \sqrt{\frac{n_2^2-n_1^2}{n_1^2}k_x^2+\frac{n_2^2}{n_1^2}k_{z,\mathrm{in}}^2} = i\sqrt{\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2}k_x^2-\frac{n_2^2}{n_1^2}k_{z,\mathrm{in}}^2} = i\kappa_{z},$$ и получается что у тебя получается мнимый $k_{z,\mathrm{tr}}$, то передаваемое поле имеет вид $$\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{tr}} e^{-\kappa_{z} z}e^{i(k_x x- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ где то, что раньше было колебательным $e^{ik_z z}$превратился в затухающий экспоненциальный $e^{-\kappa_{z} z}$.

Это лучше всего показать графически: анимация ниже показывает падающее, отраженное, прошедшее и полное поля в течение цикла, как для нормального преломления,

и для полного внутреннего отражения:

Обратите внимание, в частности, что поле резко не останавливается на границе, а немного простирается за ее пределы с плавным спадом до нуля по мере удаления от границы.

Итак, что же происходит именно при критическом угле? Вот где самое интересное: критический угол — это точка строго между положительным и мнимым в$k_{z,\mathrm{tr}}$, а это оказывается ровно нулем: то есть передаваемое поле имеет нулевой$k_z$составная часть,

$$\mathbf E_\mathrm{tr}(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left( \mathbf E_{0,\mathrm{tr}} e^{i(k_x x- \omega t)}\right)\mathclose{},$$ а это значит, что он не колеблется и не затухает вдали от границы, и он заполняет все $n_2$пространство с плоской волной, распространяющейся строго параллельно границе раздела сред:

Поначалу это кажется крайне нелогичным, потому что это решение вызывает к жизни бесконечное количество энергии, которая даже не утекает от границы. Однако важно иметь в виду, что, поскольку мы начали наши расчеты с плоской волны бесконечной энергии, мы с самого начала решительно вступили на нефизическую территорию, и у нас нет права жаловаться на такого рода особенности.

Вот почему исходная диаграмма неверна: при правильном преломлении плоской волны под критическим углом у вас нет ни одного луча, падающего на границу в одном месте; вместо этого у вас есть плоская волна, падающая на всю границу все время и взаимодействующая с (не)исчезающей волной на другой стороне. Таким образом, если вы остановите время и заставите его повернуться вспять, падающий луч превратится в плоскую волну, которая не «возникает» ниоткуда в луче. (А также: чтобы действительно сказать, что вы «повернули время вспять», вам также необходимо предоставить обращенную во времени версию отраженного луча, которая обеспечивает весь поток энергии, который передается обращенному во времени падающему лучу. .)

---

Итак, вот что говорит плосковолновая оптика, и это довольно уродливо и совсем не очень физически. Как это связано с реальностью и почему нам позволено использовать формализм, дающий так много непригодных ответов?

Это сводится к основам лучевой оптики, которую мы можем построить из оптики плоских волн, рассматривая распространение по волновым векторам формы

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = \int f(\theta,\phi) \mathbf E_\mathbf{k} e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)} \mathrm d\Omega,$$ куда $f(\theta,\phi)$это функция распределения, плотно сгруппированная вокруг предполагаемого угла падения $\theta=\theta_\mathrm{in}$. Именно это имеет в виду Любош, когда говорит, что это «не проблема, потому что вероятность того, что направление света «точно» касается границы, равна нулю»: мы интегрируем по непрерывному разбросу $\theta$с, и мы можем отбрасывать отдельные точки, не влияя на значение интеграла. Это то, что происходит с точками точно $\theta=\theta_c$: они происходят в наборе нулевой меры относительно интегрирования, поэтому мы можем просто игнорировать то, что с ними происходит.

И, наконец, вернемся к вопросу: что произойдет в физическом эксперименте, если направить луч точно под критическим углом, т.е. примерно так:

^{Источник изображения: Гетти , очевидно. Без водяного знака не нашел. Если вы это сделаете, пожалуйста, скажите мне.}

а потом вы пытаетесь повернуть время вспять? Здесь изображение ясно дает понять, что происходит с приведенным выше интегралом: если центр луча находится точно под критическим углом, то половина его энергии находится в модах с более высокими углами (которые полностью отражают внутри), а половина его энергии энергия находится под углами, которые почти, но не совсем равны критическому углу, и они уходят под конечным углом передачи от$90$°. Так и должно быть: единственный способ отойти от этого — войти с модой с бесконечным поперечным разбросом на границе; это волновая версия принципа неопределенности в действии.

И, если вы хотите обратить это во времени, то вы вернетесь к линейной комбинации двух более простых случаев: вам нужно обеспечить луч со скользящим, но ненулевым падением со стороны передачи, который имеет четко определенное падение пункт, и все в порядке. (И, аналогично, вам также необходимо обеспечить обращенную во времени версию отраженного луча, и это то, что будет вкладывать большую часть энергии в обращенный во времени падающий луч. Если нет, то вы получите отражение обращенный во времени переданный луч, который полностью отсутствует в необратимом варианте.)

---

^{Код Mathematica для анимаций, доступных черезImport["http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m"]["http://i.stack.imgur.com/jZ55H.png"]}