Какие элементы орбиты используются для описания гало-орбит?

тл;др:Для данной пары тел на круговых орбитах вокруг своего центра масс существует два симметричных семейства («северное» и «южное») собственных гало-орбит, связанных с каждой из лагранжевых точек L1, L2 и L3. Обычно мы говорим только о тех, у кого L1 и L2, потому что L3 находится очень далеко от вторичного тела (Земля в случае лагранжевых точек Солнце-Земля, Луна в случае Земля-Луна). Итак, вам нужны три параметра; два перечисления и одно значение с плавающей запятой. 1) Север или Юг, 2) связанные с L1, L2 или L3, и 3) некоторое число с плавающей запятой, которое представляет положение, в котором орбита находится между двумя крайними концами семейства, где она либо заканчивается, либо разветвляется. Пока я не знаю, есть ли у этого общепринятая параметризация, которая всегда работает, или нет.$C_3$) или некоторая амплитуда или расстояние в некоторых случаях будут работать без двусмысленностей.

В качестве практического ответа вы можете описать периодическую гало-орбиту с плоскостной амплитудой$A_Y$и внеплоскостная амплитуда$A_Z$кому-то, а затем они могли бы попытаться рассчитать орбиту и найти положения X, Y и Z как функцию времени, чтобы получить движение в пространстве, а затем определить, когда орбита будет заблокирована от точек на Земле Луна. Я обсуждаю это далее в этом ответе на Являются ли большие гало-орбиты вокруг L₁ и L₂ предпочтительными по сравнению с малыми орбитами по причинам, отличным от геометрии? , но посмотрите фотографии ниже из стостраничного тома Роберта В. Фаркухара « Использование гало-орбит в продвинутых лунных операциях », NASA Tech. Обратите внимание на D-6365.

Но помните: это касается *круговых орбит только двух тел, а реальное движение Луны (и другие эффекты) более сложное.

В разделе II.B.2.b он указывает:

Для каждого значения$A_y$> 32 871 км, есть соответствующее значение$A_z$это создаст номинальный путь, на котором основные периоды колебаний оси Y и оси Z равны. В этом случае номинальный путь, видимый с Земли, никогда не будет проходить за Луной. Точные отношения между$A_y$, и$A_z$, для этого семейства номинальных путей приведен на рис. 5.

Чрезвычайно крутая и красочная статья EJ Doedel et al, (2007) Элементарные периодические орбиты, связанные с точками либрации в круговой ограниченной задаче трех тел International Journal of Bifurcation and Chaos 17, 2625 (2007). https://doi.org/10.1142/S0218127407018671 строит систему иллюстраций, которые показывают все известные периодические орбиты в CR3BP (круговая ограниченная задача трех тел). Сюда входят многие виды или классы орбит, как показано в таблице, но исключаются орбиты Лиссажу , поскольку они в целом не являются периодическими. (примечание: игнорируйте рисунок в статье в Википедии!)

Вы также можете загрузить статью с сайта ResearchGate без платного доступа , сварить кофе, а затем провести шесть месяцев, наслаждаясь ею.

Существует также бесплатная копия их более ранней статьи: Вычисление периодических решений задачи трех тел с использованием программного обеспечения для численного продолжения AUTO . DJ Dichmann, EJ Doedel, and RC Paffenroth Int. конф. по орбитам и приложениям точки либрации, Айгуаблава, Испания, 10-14 июня 2002 г.

Я сделал три монтажа рисунка 3 с рисунками 13 (L1), 14 (L2) и 15 (L3) и показал их ниже. Для каждого показана только северная орбита гало, южная будет симметрично отражаться под плоскостью. На этих рисунках для простой визуализации используется система Земля-Луна, а на Рисунке 3 показано отношение массы Луны к Земле ($\mu \approx 0.01215$).

Вы также можете увидеть, как сгенерировать и построить несколько гало-орбит с помощью Python, используя скрипт в вопросе Как лучше всего представить матрицу перехода состояний и как использовать ее для поиска периодических гало-орбит? который взят из классической статьи , написанной Кэтлин Коннор Хауэлл «Трехмерные , периодические «гало» орбиты небесной механики 32 (1984) 53-71».

Подпись к рисунку 3: (нижняя часть со всеми отводами):

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма системы Земля–Луна (μ = 0,01215), показывающая семейства периодических орбит, исходящих из точек либрации и из последующих точек ветвления. Красные кубики — это точки либрации. Маленькие белые сферы обозначают точки ветвления, а маленькие темно-красные сферы обозначают орбиты столкновений. Планарные семейства C1, C2 и D1 представлены лишь частично; в частности, на диаграмме не указан тот факт, что D1 возникает из C1 через бифуркацию удвоения периода. Глоссарий используемых обозначений приведен в таблице 1.