Как использовать закон Ампера для полубесконечного провода с током?

Закон Ампера (для постоянного тока) гласит, что

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$$

Если мы рассмотрим бесконечный провод, то симметрия говорит нам, что B-поле в точке$A$и все остальные точки на окружности радиуса$(R+y)$постоянна по величине и находится в азимутальном направлении. Следовательно, величина B-поля определяется выражением

$$2 \pi (R+y)B = \mu_0 I$$ $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi(R+y)}$$

Итак, теперь для полубесконечного провода я убираю половину провода и, следовательно, половину векторного поля. Но прежде чем я просто скажу, что новое поле составляет половину исходного, мне нужно установить, что В-поля от каждой «половины» бесконечной проволоки на самом деле имеют одно и то же направление, так что они складываются параллельно. Закон Био-Савара говорит нам, что каждый проволочный элемент создает В-поле, которое перпендикулярно току и перпендикулярно смещению, соединяющему проволочный элемент и точку, в которой я хочу знать поле. Таким образом, B-поле всегда направлено по азимуту провода, какой бы кусок провода мы ни рассматривали. Это означает, что новое B-поле для полубесконечного провода имеет то же направление.как и для полного бесконечного провода, но имеет половину величины.

Чтобы было ясно, вы можете использовать закон Ампера:

$$\oint \vec B\cdot \mathrm{d}\vec\ell=\mu_0I_\text{enc}.$$ В частности, это форма без тока смещения, и она работает, потому что вы находитесь в магнитостатике. И ответ Роба Джеффриса полностью удовлетворителен. Но чтобы конкретно решить вашу проблему с накоплением заряда, давайте рассмотрим пример правильного обобщения Био-Савара, зависящего от времени.

Пример решения Максвелла может быть предоставлен, если и электрическое, и магнитное поля вычисляются как электрическая и магнитная части электромагнитного поля, заданные уравнениями Ефименко:

$$\vec E(\vec r,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\left[\frac{\rho(\vec r',t_r)}{|\vec r -\vec r'|}+\frac{\partial \rho(\vec r',t_r)}{c\partial t}\right]\frac{\vec r -\vec r'}{|\vec r -\vec r'|^2}\; \mathrm{d}^3\vec{r}' -\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}\frac{\partial \vec J(\vec r',t_r)}{\partial t}\mathbb{d}^3\vec r'$$ и $$\vec B(\vec r,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[\frac{\vec J(\vec r',t_r)}{|\vec r -\vec r'|^3}+\frac{1}{|\vec r -\vec r'|^2}\frac{\partial \vec J(\vec r',t_r)}{c\partial t}\right]\times(\vec r -\vec r')\mathbb{d}^3\vec r'$$ где $t_r$на самом деле является функцией $\vec r'$, конкретно $t_r=t-\frac{|\vec r-\vec r'|}{c}.$

Они сводятся к Кулону и Био-Савару только тогда, когда эти производные по времени точно равны нулю, что является статикой. Таким образом, Ефименко является примером собственных временных законов для электромагнитного поля. Обратите внимание, что и электрическая, и магнитная части электромагнитного поля имеют части, которые зависят от изменения тока во времени.

Когда изменение тока во времени равно нулю, магнитное поле определяется исключительно током. Полная остановка. Не беспокойтесь о токе смещения. Вместо этого вы должны беспокоиться о том, что в какой-то момент$\vec r$вовремя$t$Вы должны рассмотреть эти места$\vec r'$что мог бы иметь ток и посмотреть, какой ток был в то время$t_r=t-\frac{|\vec r-\vec r'|}{c}.$И если этот ток тогда менялся, вам нужно посмотреть и на его производную по времени в то время. Но для магнитных полей самое то.

Для электрических полей вас будет волновать и заряд, и скорость накопления заряда, и скорость изменения тока во времени. Если вы хотите использовать Ampere в ситуации, когда ток никогда не меняется, вы можете это сделать.

Если ток изменится, это создаст дополнительное магнитное поле, а также дополнительное электрическое поле. И вы можете вычислить дополнительное магнитное поле, глядя на скорость изменения тока смещения.

Но уравнения Ефименко делают случайную версию очевидной. Ток и его изменение, как в прошлом, вызывают магнитное поле здесь, в настоящем. И поля здесь, в настоящем, имеют какие-то отношения друг к другу из-за их общей причины.

Итак, если вы используете эти уравнения, изменение тока напрямую вызывает как электрические, так и магнитные поля. Но когда ток меняется в месте-времени$(\vec r_1,t_1)$, есть электрическое и магнитное поле. Но поле существует только в месте-времени$(\vec r_2,t_2)$где$t_2=t_1+\frac{|\vec r_2-\vec r_1|}{c}$.

Как видно из примера книги по электродинамике Гриффитса:

Для ЛЮБОГО провода уравнение (5.35) остается в силе. И вы можете видеть, что для бесконечного провода θ1=π/2 и θ2=-π/2. Таким образом, в вашей ситуации вы можете использовать только θ1 или θ2, изменив другие угол к нулю. Неважно, какой угол вы держите, математически они оба дадут вам B одинаковой величины и направления.

И ловкий трюк, потому что для бесконечного провода вы используете θ1=π/2 и θ2=-π/2, для sinθ два угла дают вам один и тот же ответ. Итак, для полубесконечного провода вы можете просто использовать B для бесконечной проволоки, деленной на 2! Это только половина μοI/2π(r+y)!

Я думаю, что вы можете использовать закон Био-Савара в электроквазистатическом приближении даже при наличии тока смещения. Например, вы можете вычислить магнитное поле, создаваемое полубесконечным сегментом с напряженностью$I$по закону Био-Савара.

Вы должны поставить заряд$Q(t)$в конце сегмента с$I=\frac{dQ}{dt}$. Но если использовать закон Био-Савара, этот заряд не играет никакой роли.

Другим методом было бы использование уравнения Максвелла-Ампера в интегральной форме.$\oint_{\Gamma }{\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{\text{d}l}=\iint_{\Sigma }{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\cdot \overrightarrow{\text{d}S}}}$с полем$\overrightarrow{E}$сделано$Q(t)$вычисляется по закону Кулона$\overrightarrow{E}(M,t)=\frac{Q(t)}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}\overrightarrow{{{e}_{r}}}$.

Вы можете проверить, что мы нашли тот же результат.

Этот пример можно сделать, используя простую форму закона Ампера.
Вместо того, чтобы получить накопление заряда на конце, вытяните проводник под прямым углом и в бесконечность. Тогда у вас есть бесконечный L-образный проводник.