Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Легко показать, что дифференциальная и интегральная формы уравнений Максвелла эквивалентны, используя теоремы Гаусса и Стокса.

Верно, они эквивалентны (предположим, что нет ни ОТО, ни КМ) в том смысле, что если интегральные версии верны для любой поверхности/петли, то дифференциальные версии верны для любой точки, а если дифференциальные версии верны для каждой точки, то интегральные версии провести для любой поверхности/петли. (Это также предполагает, что вы записываете интегральные версии в полной и правильной форме с потоком временных частиц полей и/или со стационарными петлями.)

Предположим, что в проводе течет переменный во времени ток.$I(t)$и я хочу найти поля далеко от проволоки.

Закон Ампера верен, но бесполезен. Если вы знаете тираж$\vec B$, вы можете использовать его, чтобы найти полный ток (заряд и перемещение). Если известен полный ток (заряд и перемещение), то можно найти циркуляцию$\vec B$. Но решение для$\vec B$само по себе трудно, если у вас нет симметрии.

Как насчет использования закона Ампера в интегральной форме? Каков предел его действия?

Это абсолютно правильно, но может быть бесполезно. Когда вы пишете:

Когда$I(t)$меняется, то$\vec B$поле поблизости меняется быстро, и когда происходит изменение$\vec B$поле есть циркулирующее электрическое поле, так как область изменения$\vec B$поле расширяется, так же как и область вновь циркулирующих электрических полей. Оба расширяются вместе. В конце концов расширяющаяся сфера изменения$\vec B$поле и изменяющиеся циркулирующие электрические поля, наконец, начинают достигать петли Ампера (вместе), и только тогда циркуляция$\vec B$на далеком изменении петли Ампера. Если бы было только одно изменение в$I(t)$, то расширяющаяся оболочка меняющихся электрических полей продолжает расширяться, и вы застреваете с новым значением циркулирующего$\vec B$поле, основанное на текущем, который изменился некоторое время назад.

Итак, для решения$\vec B$, вам понадобятся оба$I$а также$\partial \vec E /\partial t$а последнее вам нужно для всего пустого пространства на поверхности через петлю Ампера. Уравнения Максвелла не имеют ограниченной достоверности и не нуждаются в модификации. Просто они не всегда так полезны, как хотелось бы.

Я действительно не понимаю, в чем проблема. Если$B$равен нулю на границе, ваше уравнение показывает$0= \mu_0 I(t) + \mu_0 \iint \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}(r,t)}{\partial t} \cdot d\vec{A}$, так

Почему вы ожидаете, что это уравнение не выполняется? Я очень мало могу сказать о количестве$\frac{\partial \vec{E}(r,t)}{\partial t}$

Дифференциальные версии уравнений Максвелла подразумевают интегральные версии, а интегральные версии подразумевают дифференциальные версии, так что вы не можете нарушить одно, не нарушив другое.

Не все системы УЧП являются локальными волновыми уравнениями, поэтому тот факт, что уравнения Максвелла могут быть сформулированы в терминах УЧП (локальных законов), не означает, что эффекты локальны. И наоборот, тот факт, что уравнения Максвелла могут быть сформулированы в терминах интегралов («глобальные» законы), не означает, что эффекты являются глобальными.

Я предполагаю, что мы пренебрегаем любой кривизной пространства (без ОТО) и любыми квантовыми эффектами (без КМ).

Дифференциальная и интегральная формы полностью эквивалентны, но интегральные формы не так физически интуитивны, как можно было бы надеяться в случаях, которые не являются статическими или квазистатическими.

Другой фактор заключается в том, что их полезность может быть сомнительной. Например, в высокосимметричной ситуации в статике вы можете использовать Гаусс или Ампер, чтобы найти электрическое или магнитное поле. Те же законы действуют вне статики, но они могут быть не такими полезными.

Кроме того, некоторые отношения между терминами и более практическими вопросами, которые сохраняются только в статике, могут больше не сохраняться.

Давайте посмотрим на пример. У вас есть очень большой проводник, и магнитное поле, которое изменяется во времени быстрее, чем радиус цепи, деленный на$c$. Поскольку мы находимся вне статики или квазистатики, больше нет равенства между разностью электрических потенциалов на клемме батареи и полной ЭДС в цепи в фиксированный момент времени. Но все же существует равенство между потоком через цепь скорости изменения магнитного поля во времени и частью ЭДС через цепь из-за электрической силы, потому что этот результат не зависит ни от какого статического или квазистатического результата. Но его нужно интерпретировать более тщательно.

Интегральные уравнения выполняются для временного интервала в фиксированной системе отсчета, поэтому зафиксируйте систему отсчета. $\vec{B}$поток через цепь — это скалярная величина, которая имеет значение во все времена и изменяется по двум причинам: от мгновенной скорости изменения$\vec{B}$поле, расположенное вдоль некоторой неподвижной поверхности через мгновенные положения цепи, и мгновенное движение зарядов в цепи через реакцию на мгновенные$\vec{B}$поля в мгновенных местах цепи.

Скорость изменения времени$\vec{B}$, можно проинтегрировать по некоторой фиксированной поверхности через мгновенные положения цепи, что даст (по закону Фарадея) интеграл$-\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}$по мгновенным точкам цепи. Дело не в том, что$\vec{B}$внешнее поле вызвало эту циркуляцию электрического поля, на самом деле циркуляция электрического поля вызывает изменение магнитного поля, поэтому причинно-следственная связь совершенно иная. Лучше думать, что электрические и магнитные поля не имеют независимо определяемой скорости изменения во времени. Частицы могут иметь скорость, и тогда силы определяют ускорение частиц, но вихрь$\vec{E}$а также$\vec{B}$(и источники) заставляют поля иметь скорость изменения во времени, которая у них есть. Таким образом, каждое поле имеет значение, которое оно имеет из-за предыдущего значения и производной поля по времени, и определяется производная поля по времени. Это почти система первого порядка (за исключением того, что ток зависит от источника, поэтому электрическое поле имеет некоторые характеристики второго порядка, поскольку его изменение во времени зависит от скорости частиц). Но прямо вверх магнитное поле должно развиваться в соответствии с тем, что диктует циркуляция электрического поля (поскольку нет магнитных монопольных токов). Таким образом, электрическая сила на единицу заряда, проинтегрированная по мгновенным точкам цепи, (как всегда) численно равна мгновенному потоку$-\partial \vec{B}/\partial t$через петлю. Однако причинно-следственная связь заключается в том, что циркуляция$\vec{E}$поле вызывает поток$-\partial \vec{B}/\partial t$быть тем, что есть. В частности, это мгновенное$\vec{E}$везде вдоль той мгновенной поверхности, которая делает$-\partial \vec{B}/\partial t$поток будет тем, чем он является вдоль этой мгновенной поверхности.

Теперь, если вместо этого вы посмотрите на скорость изменения мгновенного полного магнитного потока, вы получите этот вклад плюс еще один вклад в движущийся провод. В квазистатике вы получаете, что другой вклад равен магнитной силе на единицу заряда, интегрированной вдоль мгновенного положения провода. И вы получили это из немонопольного закона. Итак, в статике все вместе получается, что интеграл от силы Лоренца на единицу заряда равен$-d\Phi/dt$. Закон о немонополии все еще действует, но вы не получаете$-d\Phi/dt$результат, потому что скорость зарядов больше не равна скорости части схемы плюс скорость, параллельная части схемы.

И даже если бы у вас была вся ЭДС, она уже не равна разности потенциалов на участке цепи с аккумулятором.

Однако выполняется любая интегральная форма уравнений. Я описал закон Фарадея, ту его часть, которая остается в силе (мгновенный поток$-\partial \vec{B}/\partial t$равен линейному интегралу$E$вокруг петли).

Закон немонополя по-прежнему действует, но он не дает вам результатов, к которым он привык (например, о магнитной ЭДС), но он все же дает вам векторный потенциал. Это по-прежнему дает вам, что линии поля, входящие в регион, покидают регион.

Закон Гаусса остается в силе, поэтому для любого мгновенного объема мгновенный поток через поверхность пропорционален мгновенному заряду внутри. И это по-прежнему дает вам то, что линии поля начинаются и останавливаются на электрических зарядах.

Уравнение неразрывности по-прежнему выполняется в интегральной форме. Заряд — это мгновенный заряд внутри, ток — это мгновенный поток заряда через мгновенную поверхность.

Закон Ампера говорит, что вы можете выбрать контур, мгновенный в системе отсчета, и поток тока через него (мгновенный$I$) плюс поток мгновенного тока смещения через мгновенную поверхность численно равен циркуляции$\vec{B}$поля через мгновенную петлю. Но опять-таки причинность в том, что мгновенная циркуляция$\vec{B}$в области минус мгновенный поток тока$I$через область пропорциональна скорости изменения ортогональной составляющей$\vec{E}$поле и фактически делает$\vec{E}$изменить таким образом. Таким образом, течение в этом направлении и циркуляция вокруг этого направления говорят вам, как этот компонент$\vec{E}$поле изменяется, и именно циркуляция и ток прямо здесь (и прямо тогда) определяют это (хорошо по соседству). И снова$\vec{E}$развивается на основе того, что$\vec{E}$было до плюс изменение времени на основе$\vec{B}$поблизости и$\vec{J}$рядом, поблизости. Таким образом, Ампер точно так же верен в интегральной форме.

Все уравнения Максвелла также имеют место в интегральной форме. Вы даже можете получить версию с полной производной по времени версий потоков законов, если рассматриваемая петля является фиксированной петлей в пространстве. И мы по-прежнему можем ясно видеть причинно-следственную связь, поэтому известно, что делает каждое поле тем, чем оно является.

Ответ зависит от того, что вы подразумеваете под «применимостью»: «действительность» или «полезность». Интегральная и дифференциальная формы уравнений Максвелла полностью эквивалентны, поэтому интегральные формы остаются полностью верными даже в крайне релятивистском контексте. Однако в этом контексте они редко бывают столь же полезными , как дифференциальные формы, потому что они нелокальны, поэтому соответствующие интегралы нельзя выполнять, используя только локально доступные данные. Кроме того, релятивистские задачи редко имеют какие-либо симметрии, которые можно использовать для их достаточного упрощения до тех пор, пока интегральные формы не пригодятся.

Я не мог вставить картинку в комментарии, а рисовать без планшета мне лень.

Я думаю, что проблема или, по крайней мере, ее часть, заключается в том, что магнитное поле имеет разрыв в пространстве, поэтому его завиток в этих точках не определен четко, и в результате кто-то не может преобразовать поверхностный интеграл завихрения в линейный интеграл по периметру. этой поверхности.

Если вы рассматриваете круг радиусом 10с, со скоростью света с, то в момент времени t = 1с и на расстоянии 10с магнитное поле равно нулю, потому что оно не успело туда добраться. Таким образом, линейный интеграл равен нулю. Однако эквивалентом линейного интеграла является поверхностный интеграл, который не равен нулю. В этом случае я думаю, что на границе распространения магнитного поля есть разрыв, до которого он отличен от нуля, но после него он равен нулю, из-за того, что ничто не может двигаться быстрее света. Таким образом, вы не можете использовать теорему Стокса, чтобы получить линейный интеграл из поверхностного интеграла. Следовательно, линейный интеграл действителен при r/t<=c.