Расчет магнитного поля вокруг провода с током произвольной длины с использованием уравнений Максвелла.

Здравствуйте, я пытаюсь использовать уравнения Максвелла для расчета электромагнитных полей вокруг различных ситуаций заряда/тока, например, от заряда с использованием$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$получить закон Кулона. Однако одна область, на которой я застрял, — это магнитное поле вокруг проводника с током конечной длины. Я знаю, как это сделать с помощью закона Био-Савара для проводов многих форм, но я не могу понять это, исходя только из уравнения Ампера-Максвелла:$\nabla\times B=\mu_0(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$. Я не уверен, как я могу включить длину провода в эти уравнения, и я продолжаю получать уравнение для провода бесконечной длины.

Вот мой общий процесс:

Имеется прямой провод длиной$l$и радиус$r$несущий ток$I$. Мы хотим найти напряженность магнитного поля.$B$на расстоянии$x$от центра провода. Точка выравнивается по вертикали с линией так, чтобы расстояние между точкой и обоими концами провода было одинаковым.

Начнем с уравнения Ампера-Максвелла:

$$\nabla\times B=\mu_0(J+\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t})$$

мы можем бросить$\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$так как электрическое поле не меняется.

$$\nabla\times B=\mu_0 J$$

Плотность тока$J$расширяется до$\frac{I}{\pi r^2}$:

$$\nabla\times B=\frac{\mu_0 I}{\pi r^2}$$

Найти$B$мы можем использовать теорему Стокса, показывающую, что магнитное поле по окружности$L_1$круга$A_1$находится путем интегрирования магнитного завихрения внутри этого круга (при условии симметрии):

$$\int_{L_1} B_1 \cdot dL_1 = \iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1$$

На приведенной выше диаграмме окружность имеет радиус$r$и расположен в центре провода, поэтому решение для$B_1$должно дать нам магнитное поле на поверхности провода. Чтобы найти его на расстоянии$x$, воспользуемся тем, что тока вне провода нет. Другими словами, изгиб внутри проволоки$>0$и везде за его пределами$=0$. Поэтому для любого радиуса$>r$круга, интеграл внутри него будет постоянным и равен интегралу круга$A_1$.

Итак, если у нас есть второй круг$A_2$с радиусом$x$:

$$\int_{L_1} B_1 \cdot dL_1 = \iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1 = \iint_{A_2} \nabla \times B \cdot dA_2 = \int_{L_2} B \cdot dL_2$$

$$\iint_{A_1} \nabla \times B \cdot dA_1 = \int_{L_2} B \cdot dL_2$$

Предполагая совершенную симметрию,$B$и$\nabla \times B$постоянны внутри интеграла, поэтому их можно вытащить:

$$\nabla \times B\iint_{A_1} dA_1 = B\int_{L_2} dL_2$$

Решение для$B$

$$\frac{\mu_0 I}{\pi r^2} \cdot \pi r^2 = B \cdot 2 \pi x$$

$$\mu_0 I = B \cdot 2 \pi x$$

$$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$$

Однако это уравнение для магнитного поля вокруг провода бесконечной длины . Я пытаюсь найти один по длине$l$. Я в полной растерянности относительно того, где на предыдущих шагах я бы использовал$l$. Также почему результатом этих шагов является бесконечный провод, я нигде не указывал длину провода.

Я спрашиваю, исходя из последнего уравнения Максвелла, как мне рассчитать магнитное поле вокруг провода конечной длины? Что я делаю не так? Любая помощь/понимание будет оценена по достоинству.