Размерный анализ метрического тензора

Question

Размерный анализ метрического тензора

ХХДД

В геометрии ОТО метрический тензор $g$ может определить риманову связность и тензор кривизны, правильно комбинируя пространственные производные (относительно системы координат 4d).

Меня интересует размерный анализ метрического тензора.

Согласно геометрической картине ОТО, связь как потенциал связана с энергией , а тензор кривизны – с силой силы (с массой, чтобы связать связь/кривизну с энергией/силой).

Тогда какова размерность метрического тензора? Интуитивно он должен быть безразмерным, но как его первая/вторичная пространственная производная связана с энергией/массой и силой/массой=ускорением соответственно?

Другое наблюдение связано с представлением группы Лоренца. Где вращение/ускорение связано с $SU(2)$ и $SL(2)$ преобразования. Если мы возьмем $SU(2)$ или $SL(2)$ как преобразования $U$ на квантовых состояниях, то они безразмерны. Таким образом, ускорение (увеличение/время) можно рассматривать как

г U / г т "=" ЧАС / ℏ "=" 1 / т

$dU/dt=H/\hbar=1/t$ поэтому мы получаем, что импульс безразмерен, поэтому время = длина и энергия = масса (это нормальные выводы, поскольку мы обычно принимаем c = 1 ). Причина, по которой я проверяю представление группы Лоренца, заключается в том, что общий метрический тензор генерируется из метрики Минковского с помощью безразмерной операции

G L (4)

$GL(4)$ , так что это, кажется, подтверждает, что метрический тензор должен быть безразмерным.

Но если мы вернемся к предыдущему анализу, где пространственная производная безразмерного метрического тензора дает энергию/массу , которая тогда также безразмерна, поскольку энергия=масса . Таким образом, мы получаем, что пространственная производная от безразмерной величины остается безразмерной.

Должно быть что-то не так с моим выводом. Может ли кто-нибудь помочь прояснить это?

Вальтер Моретти

Очевидно

[g] = L^{2}

$[g] =L^2$ так как координаты в РГ не имеют размерности и

[d s^{2}] = L^{2}

$[ds^2]=L^2$

ХХДД

@ Вальтер Моретти Тогда каковы размеры потенциала и кривизны? Как они соответствуют потенциалу поля и напряженности поля? Спасибо.

ХХДД

Вы имеете в виду, что тогда пространственная производная не изменит размерность, поэтому и потенциал, и напряженность поля имеют одинаковую размерность

L^{2}

$L^2$ ?

Вальтер Моретти

Да, производные координат не меняют физических размеров.

тпаркер

@ X.Dong Обратите внимание, что Вальтер Моретти использует соглашение № 2 в списке, который я даю в своем ответе, что, хотя и вполне приемлемо, не является наиболее распространенным выбором. Координатам в ОТО чаще присваивают размеры

L^{1}

$L^1$ .

ХХДД

@tparker Да, спасибо. Там проще решить проблему размерности, взяв координату безразмерной, но это не приводит к ясной физической картине. Я предпочитаю использовать ваше соглашение № 1.

ХХДД

@tparker Меня смущает мысль, что

U (4) = G L (4)

$U(4)=GL(4)$ = повышение = метрика,

d U / d t = t^{- 1} = L^{- 1}

$dU/dt=t^{-1}=L^{-1}$ = ускорение = напряженность поля. Таким образом, в ОТО мы получаем кривизну из метрики, взяв пространственную производную дважды, но в картине КМ (принимая буст как эволюцию квантовых состояний) мы получаем напряженность поля, взяв производную только один раз!

Ответы (2)

Размерный анализ метрического тензора

Очевидно $[g] =L^2$ так как координаты в РГ не имеют размерности и $[ds^2]=L^2$
@ Вальтер Моретти Тогда каковы размеры потенциала и кривизны? Как они соответствуют потенциалу поля и напряженности поля? Спасибо.
Вы имеете в виду, что тогда пространственная производная не изменит размерность, поэтому и потенциал, и напряженность поля имеют одинаковую размерность $L^2$ ?
Да, производные координат не меняют физических размеров.
@ X.Dong Обратите внимание, что Вальтер Моретти использует соглашение № 2 в списке, который я даю в своем ответе, что, хотя и вполне приемлемо, не является наиболее распространенным выбором. Координатам в ОТО чаще присваивают размеры $L^1$ .
@tparker Да, спасибо. Там проще решить проблему размерности, взяв координату безразмерной, но это не приводит к ясной физической картине. Я предпочитаю использовать ваше соглашение № 1.
@tparker Меня смущает мысль, что $U(4)=GL(4)$ = повышение = метрика, $dU/dt=t^{-1}=L^{-1}$ = ускорение = напряженность поля. Таким образом, в ОТО мы получаем кривизну из метрики, взяв пространственную производную дважды, но в картине КМ (принимая буст как эволюцию квантовых состояний) мы получаем напряженность поля, взяв производную только один раз!

тпаркер · Answer 1

тпаркер

Элемент линии $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ имеет размеры длины $^2$ . Но есть несколько различных соглашений о том, как распределять эти параметры по факторам:

Некоторым людям нравится иметь метрику безразмерной и иметь координату $dx^\mu$ иметь размеры $L^1$ . Это мой личный фаворит, потому что тогда вы можете вычислить размерность различных тензоров кривизны, просто подсчитав, из скольких производных пространства-времени они состоят (один фактор $L^{-1}$ для каждой производной).
Некоторым людям нравится иметь координаты $dx^\mu$ безразмерны, и в этом случае метрика и все тензоры кривизны имеют размерность $L^2$ .
Некоторым людям нравится иметь разные координаты, а разные компоненты метрики имеют разные измерения — например, для евклидовой метрики. $ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$ , $[r] = L^1$ , $[\theta] = L^0$ , $[g_{rr}] = L^0$ , $[g_{r\theta} = L^1]$ , и $[g_{\theta \theta}] = [L^2]$ . В этом случае разные компоненты различных тензоров кривизны также имеют разные размерности.

Независимо от того, какое соглашение вы используете, измерения всегда работают правильно в конце дня, когда все индексы сведены к физически наблюдаемым скалярам Лоренца.

ХХДД

Спасибо за ответ. Я предпочитаю следовать вашей первой идее, поскольку она традиционна и помогает прояснить физическую картину. Я не понимаю, если метрический тензор безразмерен, то как мы можем вывести размерность потенциала (связь) и размерность напряженности поля (кривизну). Не могли бы вы помочь прояснить это? Почему

L^{- 1}

$L^{-1}$ связь работает как потенциал и

L^{- 2}

$L^{-2}$ кривизна работает как напряженность поля? Спасибо.

ХХДД

Или я пытаюсь понять, соответствует ли метрический тензор безразмерному

G L (4)

$GL(4)$ преобразование, а если взять это преобразование как общую операцию над квантовым состоянием (как расширение унитарных операций), то каково соответствие потенциала и кривизны? Какие из них соответствуют оператору Гамильтона?

ХХДД

Если

G L (4)

$GL(4)$ принимается за безразмерный буст (

L / t

$L/t$ ), то оператор Гамильтона

H / ℏ

$H/\hbar$ имеет размерность

t^{- 1} = L^{- 1}

$t^{-1}=L^{-1}$ и оно должно соответствовать ускорению (или силе, или напряженности поля, деленной на массу). Но кривизна (напряженность поля) должна иметь размерность

L^{- 2}

$L^{-2}$ но нет

L^{- 1}

$L^{-1}$ . Так что я в замешательстве.

тпаркер

@ X.Dong Я не эксперт по формулировке классического E&M как пучка волокон U (1), но я думаю, что путаница в том, что вы идентифицируете калибровочное соединение EM.

A_{μ}

$A_\mu$ со связью Кристоффеля

Γ_{ν ρ}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . Это, конечно, понятно из-за схожести названий, но я думаю, что на самом деле более естественно идентифицировать подключение датчика ЭМ.

A_{μ}

$A_\mu$ с метрикой GR

g_{μ ν}

$g_{\mu \nu}$ сам. (Обратите внимание, что оба они безразмерны в единицах, где

ℏ = c = 1

$\hbar = c = 1$ , и оба содержат калибровочную свободу.) Кривизна связи ЭМ датчика - напряженность поля...

тпаркер

F_{μ ν}

$F_{\mu \nu}$ - соответствует связности GR Кристоффеля

Γ_{ν ρ}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . Оба имеют размеры

L^{- 1}

$L^{-1}$ , калибровочно-инвариантны и дают кривизну калибровочной связности или пространства-времени соответственно. Поле источника электромагнитной материи

J^{μ}

$J^\mu$ соответствует полю источника вещества ОТО

T_{μ ν}

$T_{\mu \nu}$ - оба имеют размеры

L^{- 2}

$L^{-2}$ . Так что все получается - метрика подобна потенциалу и имеет единицы энергии/массы, связь Кристоффеля подобна напряженности электромагнитного поля и имеет единицы силы/массы, а тензор Эйнштейна/тензор энергии-импульса подобен источнику тока .

ХХДД

Собственно, это мое замешательство. Соединение датчика должно соответствовать потенциалу поля, чтобы кривизна давала напряженность поля. Проблема здесь в том, что связь в ОТО получается из метрики путем взятия пространственных производных, поэтому они не должны иметь одинаковую размерность. Это то, что я имею в виду в картине GR, сила получается из метрики путем двойного взятия производных, но в QM напряженность поля (

H / ℏ

$H/\hbar$ ) получается путем взятия производной от

U = m e t r i c

$U=metric$ один раз!

тпаркер

@X.Dong На картинке GR «сила поля

F_{μ ν}

$F_{\mu \nu}$ " соответствует связности Кристоффеля

Γ_{ν ρ}^{μ}

$\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . В обоих случаях это первая производная от «метрики».

ХХДД

Но на самом деле

F_{μ v}

$F_{\mu v}$ должен соответствовать кривизне, так как это прочность на спил и

d F = 0

$dF=0$ . Связью должны быть скалярные/векторные потенциалы. Если

F

$F$ это связь, т.

d F = 0

$dF=0$ приводит к 0 напряженности поля.

тпаркер

@X.Dong Да, согласен, это странно. Я не знаю ответа.

ХХДД

В любом случае спасибо за ответ и обсуждение. Я подумаю.

ХХДД

Я думаю, что это может быть так, что мое предположение, что

G L (4)

$GL(4)$ =boost=метрика неверна. Поскольку мы можем только сказать, что

G L (4)

$GL(4)$ =boost ГЕНЕРИРУЕТ метрический тензор. Но у нас нет доказательств того, что

G L (4)

$GL(4)$ ЯВЛЯЕТСЯ метрикой, так как от буста к метрике нужны дальнейшие преобразования. Таким образом, отношение между

G L (4)

$GL(4)$ и метрика такая же, как связь между соединением и метрикой. Затем

G L (4)

$GL(4)$ может играть роль связи. Я не уверен, что это может решить проблему.

тпаркер

@ X.Dong Я немного переформулировал ваш вопрос на physics.stackexchange.com/questions/340371/… .

ХХДД

@tparker Большое спасибо за переформулировку. Я буду следить за вашим постом и посмотреть, что случилось.

Дол

Я не думаю, что соглашение 1 осуществимо. Это даже не работает для координат Шварцшильда. Я думаю, что если вы хотите, чтобы координаты имели единицы измерения, вам нужно перейти к соглашению 3. Поэтому я предпочитаю 2, поскольку это простейшее возможное соглашение.

тпаркер

@Dale Это зависит от того, что вы подразумеваете под «работой», но, если подумать, я склонен согласиться с вами в том, что соглашение 1 неудобно для общих систем координат. Мне сейчас нравится соглашение 3, потому что кажется естественным (мне) сохранять размерность, например, декартовых координат в евклидовом пространстве. На самом деле вопрос личных предпочтений.

пглпм · Answer 2

Всегда есть небольшая путаница в отношении координат и их размеров. Координата — это, с физической точки зрения, величина, связанная с каждым событием в области пространства-времени (области диаграммы), таким образом, что значения набора таких величин однозначно определяют события в этой области. . Подойдет любая величина: расстояние от чего-либо, время, прошедшее с момента чего-либо, угол, а также температура или значение поля. Таким образом, у нас может быть локальная система координат, в которой координаты имеют размеры длины, угла (то есть «1»), магнитного потока и температуры.

Как указывает Тпаркер , это означает, что разные компоненты метрического тензора будут иметь разные размерности. Но каждый тензор имеет абсолютную размерность, как это называет Schouten (1989). Это размерность тензора как геометрического объекта, независимо от какой-либо системы координат. Это размерность суммы

г_{00} г {Икс}^{0} \otimes г {Икс}^{0} + г_{01} г {Икс}^{0} \otimes г {Икс}^{1} + \dots \equiv г г .

$g_{00}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^0 + g_{01}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^1 + \dotsb \equiv \pmb{g}.$

Существуют различные варианты абсолютной размерности метрического тензора: $\text{length}^2$ , $\text{time}^2$ , и так далее. мой любимый это $\text{time}^2$ , потому что если мы перенесем часы из события $E_1$ к событию $E_2$ (времяподобное разделение) по времениподобному пути $s \mapsto c(s)$ , часы будут показывать прошедшее время (собственное время)

\int_{с} \sqrt{| г г [\dot{с} (с), \dot{с} (с)] |} г с,

$\int_{c} \sqrt{\Bigl\lvert \pmb{g}[\dot{c}(s),\dot{c}(s)] \Bigr\rvert}\; \mathrm{d}s,$ которая не зависит от параметризации

s

$s$ . Предполагая

c

$c$ быть безразмерным означает, что

g g

$\pmb{g}$ должны иметь размеры

{time}^{2}

$\text{time}^2$ . Но некоторые авторы, например Кертис и др. (1985), определяют прошедшее время как

\frac{1}{c}

$\frac{1}{c}$ умножить на интеграл выше, так что

g g

$\pmb{g}$ имеет абсолютную размерность

{length}^{2}

$\text{length}^2$ вместо. В любом случае, дело в том, что

g g

$\pmb{g}$ , как внутренний геометрический объект, имеет размерность, которая не зависит ни от каких координат.

Обратите внимание, что $\pmb{g}$ Абсолютная размерность s вызывает различия в абсолютных размерностях тензоров, полученных друг из друга путем повышения или понижения индексов.

Относительно связи - независимо от какой-либо метрики - рассмотрим действие ее ковариантной производной $\nabla$ на векторах координат:

\nabla \frac{\partial}{\partial {Икс}^{λ}} "=" \sum_{мю ν} Г^{ν}_{мю λ} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{ν}} \otimes г {Икс}^{мю} .

$\nabla \frac{\partial}{\partial x^\lambda} = \sum_{\mu\nu} \varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}\; \frac{\partial}{\partial x^\nu}\otimes\mathrm{d}x^{\mu}.$ Чтобы члены в сумме и в левой части имели одинаковую размерность, символ Кристоффеля

Γ^{ν}_{μ λ}

$\varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}$ должны иметь размеры

K \dim (x^{ν}) \dim (x^{μ})^{- 1} \dim (x^{λ})^{- 1}

$\mathrm{K}\,\dim(x^{\nu})\,\dim(x^{\mu})^{-1}\,\dim(x^{\lambda})^{-1}$ , где

K

$\mathrm{K}$ является произвольным. Таким образом, эффект ковариантной производной заключается в умножении размерности ее аргумента на

K

$\mathrm{K}$ . Кажется очень естественным принять

K = 1

$\mathrm{K}=1$ , иначе у нас возникли бы проблемы с определением тензора Римана:

р (ты ты, в в) ж ж "=" \nabla_{ты ты} \nabla_{в в} ж ж - \nabla_{в в} \nabla_{ты ты} ж ж - \nabla_{[ты ты, в в]} ж ж,

$R(\pmb{u},\pmb{v})\pmb{w} = \nabla_{\pmb{u}}\nabla_{\pmb{v}}\pmb{w} -\nabla_{\pmb{v}}\nabla_{\pmb{u}}\pmb{w} -\nabla_{[\pmb{u},\pmb{v}]}\pmb{w},$ где

\nabla

$\nabla$ встречается дважды в двух слагаемых и один раз в одном слагаемом.

Отсюда следует, что тензор Римана $R{}^\bullet{}_{\bullet\bullet\bullet}$ и тензор Риччи $R_{\bullet\bullet}$ являются безразмерными.

См. этот ответ для более длительного обсуждения.

Размерный анализ метрического тензора

ХХДД

Вальтер Моретти

ХХДД

ХХДД

Вальтер Моретти

тпаркер

ХХДД

ХХДД

Ответы (2)

тпаркер

ХХДД

ХХДД

ХХДД

тпаркер

тпаркер

ХХДД

тпаркер

ХХДД

тпаркер

ХХДД

ХХДД

тпаркер

ХХДД

Дол

тпаркер

пглпм

Рекомендации

Интерпретация нормальных координат

Как можно «ничего» исказить?

Безмассовая черная дыра Керра

Какова метрика стандартного неориентируемого во времени пространства-времени?

Манипуляции с нотацией тензорного индекса

Как получить замедление времени из g00g00g_{00} вообще и из метрики Шварцшильда в частности?

Контрпример к определению сферической симметрии в общей теории относительности

Подсчет мощности и (поверхностная) неперенормируемость

Как получить внешнее и/или внутреннее решение Шварцшильда, используя уравнение избыточного радиуса Фейнмана?

Вычисление метрического тензора из его векторов Киллинга?