Какова метрика стандартного неориентируемого во времени пространства-времени?

Если вы читали любую топологию пространства-времени, вы знаете это пространство-время. Это удивительный вращающийся световой конус, идентифицированный после половины оборота. И помимо пространства Де Ситтера с некоторыми отождествлениями, это единственное когда-либо описанное не ориентированное во времени пространство-время.

Вот, например, в Вальде:

А вот и в Санчесе :

Однако это никогда не описывается явно. Очевидно из топологии$\Bbb R \times S$, но помимо этого, кто угодно может догадаться, что это за метрика на самом деле.

Санчес на самом деле почти дает метрику, давая нам скалярные произведения:

$$X_1 = \cos(\pi x) \partial_x + \sin(\pi x) \partial t$$ $$X_2 = -\sin(\pi x) \partial_x + \cos(\pi x) \partial t$$ $$g(X_1, X_2) = -1$$ $$g(X_1, X_1) = g(X_2, X_2) = 0$$

Что значит

$$-\sin(\pi x)\cos(\pi x)g_{xx} + \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$\cos^2(\pi x) g_{xx} + \sin^2(\pi x) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$\sin^2(\pi x) g_{xx} + \cos^2(\pi x) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Суммируя последние два, это дает нам

$$g_{xx} = -g_{tt}$$

Так

$$2 \sin(\pi x)\cos(\pi x) g_{tt}+ (\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) g_{tx} = -1$$

$$(-\cos^2(\pi x) +\sin^2(\pi x)) g_{tt} + 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

$$(-\sin^2(\pi x) + \cos^2(\pi x)) g_{tt} - 2 \cos(\pi x)\sin(\pi x) g_{tx} = 0$$

Поскольку световой конус и, следовательно, направление времени и пространства вращаются, мой инстинкт подсказывает мне поставить$g_{tt} = \cos(\pi x)$. Тогда определитель показателя будет$\cos^2(\pi x) - g_{tx}^2$. Чтобы сохранить подпись, это означает$\cos^2(\pi x) < g_{tx}^2$. Если я использую этот анзац,

$$g_{tx} = -2 \frac{\sin(\pi x)\cos(\pi x)^2 + 1}{(\cos^2(\pi x) - \sin^2(\pi x)) }$$

$$g_{tx} = \frac{( \cos^2(\pi x)-\sin^2(\pi x) ) }{2 \sin(\pi x)}$$

Быстрое построение графика говорит мне, что это не одни и те же функции. Любые идеи, какой будет фактическая метрика?