Почему большинство кривых распределения имеют форму колокола? Существует ли какой-либо физический закон, который заставляет кривые принимать такую ​​форму?

Во-первых, распределения не всегда колоколообразны. Очень важный набор распределений уменьшается от максимума при$x=0$, такие как экспоненциальное распределение (время задержки до случайного события, такого как радиоактивный распад) или степенные законы (распределение размеров случайно фрагментирующихся объектов, землетрясений, качества руды и многих других вещей).

Стабильные дистрибутивы

Тем не менее, существует подозрительное сходство между многими дистрибутивами. Они возникают из-за статистических законов, которые делают их «аттракторами»: происходят различные очень разные случайные процессы, но их результаты имеют тенденцию объединяться, образуя похожие распределения. Как упомянул Боб, центральная предельная теорема делает сложение независимых случайных факторов (с конечной дисперсией!) приближенным к распределению Гаусса (поскольку оно настолько распространено, что называется нормальным распределением). Строго говоря, есть несколько других возможностей . Если вместо этого умножаются случайные факторы, результатом является логарифмически нормальное распределение . Если мы возьмем максимум каких-то случайных вещей, распределение будет приближаться к распределению Вейбулла (или,несколько других ). По сути, многие повторяющиеся или сложные процессы имеют тенденцию создавать одни и те же распределения снова и снова, и многие из них выглядят как колоколообразные.

Максимальное распределение энтропии

Почему это? Глубокий ответ — максимизация энтропии . Эти стабильные распределения имеют тенденцию максимизировать энтропию случайных значений, которые они производят, с учетом некоторых ограничений. Если у вас есть что-то положительное и с указанным средним значением, вы получаете экспоненциальное распределение. Если он положительный, но нет предпочтительной шкалы, вы получаете степенной закон. Указанное среднее значение и дисперсия: гауссовский. Максимальная энтропия в фазовом пространстве для данной средней энергии: Максвелл-Больцман .

Статистическая механика

Здесь мы возвращаемся к физике. Многие физические процессы подчиняются статистической механике, основанной на постулате равной априорной вероятности:

Для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом система может быть найдена с равной вероятностью в любом микросостоянии, согласующемся с этим знанием.

Если мы точно знаем энергию и количество частиц, то каждое разрешенное микросостояние равновероятно (максимизирует энтропию), но все макроскопическое, что мы вычисляем или измеряем, будет функцией этих случайных микросостояний, так что его распределение будет сгруппировано, если будет много микросостояний. микросостояния, которые могут генерировать это макросостояние. Если у него есть фиксированные частицы, но мы знаем только среднюю энергию , каждое состояние имеет вероятность$(1/Z)e^{-E/k_B T}$где$E$это их энергия,$Z$является нормирующей константой и$T$температура: это распределение, распределение Больцмана, максимизирует энтропию с ограничением, что средняя энергия фиксирована. Подобные распределения работают, когда количество частиц может меняться .

Квантовая механика

Наконец, это связано с квантовой механикой: КМ описывает множество возможных микросостояний, и из этого плюс статистическая механика можно рассчитать статистические распределения макроскопических вещей, таких как испускаемые фотоны с разными длинами волн, скорости молекул газа или распределения кинетической энергии. Количество доступных состояний влияет на то, какие кривые мы получаем, а ограничения эксперимента фиксируют такие параметры, как энергия или температура, но, поскольку природа максимизирует энтропию, мы получаем распределения, максимизирующие энтропию, которые соответствуют этим входным данным.

Они часто имеют форму слабого колокола, поскольку для высоких энергий доступно больше состояний (кривая растет от низких значений при низкой энергии), но система не может перевести все частицы в состояния с высокими энергиями, сохраняя (среднюю) энергию постоянной (кривая имеет снижаться до определенного предела). Но это среднее значение множества микрособытий, все из которых имеют более сложное или дискретное распределение.

«Гауссова кривая» часто относится к распределению Гаусса. Это распределение настолько распространено, что его также называют нормальным распределением. Это очень распространено, потому что возникает всякий раз, когда вы смотрите на сумму многих вещей из одного распределения: то есть множество крошечных флуктуаций, которые, согласно центральной предельной теореме , складываются в распределение Гаусса.

Хотя они выглядят колоколообразными, ни один из приведенных здесь примеров на самом деле не является гауссовым. У них несколько более сложные причины.

Из этих трех ближе всего подходит распределение Максвелла. Он немного выше в верхнем хвосте, чем гауссова, и стремится к нулю при нуле, в отличие от гауссовой. (Распределение скоростей вдоль одной оси является гауссовым). Физически это вызвано фазовым пространством : чтобы иметь скорость точно равную нулю, частице нужны все Vx, Vy и Vz, равные нулю, что очень маловероятно.

Два других распределения еще дальше от Гаусса.

У распределений Вина действительно есть квантово-механическая причина, хотя она несколько специфична для основного планковского излучения: оно исходит из необходимости, чтобы излучение с более высокой энергией (с более низкой длиной волны) приходило в виде квантов определенного размера. Это приводит к тому, что увеличение, поступающее слева, должно перевернуться, чтобы достичь нуля в нуле.

Форма бета-распада также не является результатом объединения множества мелких эффектов. Скорее, это также происходит из фазового пространства : когда бета-частица имеет среднюю энергию, есть много возможностей для направления и энергии ядра и нейтрино. Однако при очень высоких или очень низких энергиях возможностей намного меньше: все должно совпадать, поэтому вероятность ниже.

Многие физические распределения, особенно в тепловой или стохастической физике, действительно имеют вид «круглого центрального горба, уменьшающегося с обеих сторон» из-за ограничений физически возможных: какой-то принцип, такой как квантование или сохранение энергии, делает его очень маловероятным или даже невозможно после некоторого значения. В теплофизике это часто закон вероятности: вы комбинируете кучу маленьких эффектов, и маловероятно, что все они пойдут тем или иным путем. Маловероятно, что все события вытолкнут вас в один хвост или в другой, и чем дальше вы идете, тем меньше вероятность того, что этот состав становится. Таким образом, для физического распределения характерно отклонение от центрального пика, где примерно уравновешиваются все +/- флуктуации.

Полезные распределения в физике, как правило, имеют следующие черты:

• непрерывная/плавная работа
• асимптотическое приближение к нулю для больших$x$ и либо очень маленький$x$(т.е. 0) или отрицательная бесконечность
• иметь один пик

которые в значительной степени являются определяющими чертами колоколообразных функций :

Колоколообразная функция или просто «колоколообразная кривая» — это математическая функция, имеющая характерную «колоколообразную» кривую. Эти функции обычно непрерывны или гладки, асимптотически приближаются к нулю при больших отрицательных/положительных значениях.$x$, и имеют единственный унимодальный максимум при малых$x$.

Конечно, в физике есть полезные распределения, которые не обладают всеми этими свойствами (и поэтому не имеют колоколообразной формы). Например, степенные распределения (используемые в звездной начальной функции массы и потоках космических лучей ), этот тип распределения по-прежнему является непрерывным и одновершинным, но асимптотически не приближается к 0 на обоих концах. В этом случае, когда нужно проинтегрировать по распределению, можно использовать физические границы для верхнего и нижнего пределов (например, 0,08$M_\odot$и ~150$M_\odot$для начальной функции масс ср. этот мой пост SE ), а не$(0,\,+\infty)$или$(-\infty,\,+\infty)$

Насколько я могу судить, если вы хотите, чтобы они были непрерывными, начинались в начале координат, были неотрицательными и имели определенный несобственный интеграл , они должны стремиться к$0$в$+ \infty$, быть ограниченным и принимать максимум.

Кроме того, если они принимают ровно один локальный максимум, они будут иметь форму, аналогичную опубликованным вами кривым.