Почему групповая скорость представляет собой передачу энергии или информации? Какая связь между фазовой скоростью и специальной теорией относительности

Утверждение «групповая скорость представляет передачу энергии или информации» не совсем точно. И это большая банка червей, на самом деле. Но давайте начнем с самого начала.

Что такое дисперсионное соотношение?
Предположим, что у вас есть некоторое количество$u$это зависит от координаты$x$и вовремя$t$.

Отношение дисперсии$\omega(k)$в основном утверждение, что если у вас есть координатная зависимость в виде волны с некоторым волновым вектором$k$:

$$u(x)=Ae^{-ikx},$$ то вы можете мгновенно написать зависимость от времени, например $$u(x,t)=Ae^{i\omega(k)t-ikx}.$$

Что делать, если у вас есть более сложные$u(x)$?
В этом случае вы представляете его как сумму (или интеграл) таких волн. Это то, что они называют «преобразованием Фурье»:

$$u(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{-ikx}dk$$ Тогда, используя принцип суперпозиции, мы можем написать: $$u(x,t) = \int\limits_{-\infty}^\infty a(k)e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ Теперь, если вы предполагаете, что $a(k)$имеет пик вокруг некоторого волнового вектора $k_0$, то можно сделать вывод, что результирующий волновой пакет движется с групповой скоростью. Вывод можно посмотреть здесь .

Но какова максимальная скорость передачи информации?
Это моя точка зрения. Давайте иметь$\delta$-сигнал на$x=0$-- его преобразование Фурье одинаково на всех частотах:

$$u(x) = \delta(x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ikx}dk$$ Таким образом, временная эволюция будет: $$u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega(k)t-ikx}dk$$ И мы должны полагать, что это выражение дает $u(x,t)=0$для $x>v_gt$что бы ни $\omega(k)$является.

А что не так?
Ага. Хитрость в том, что если вы вводите дисперсию и хотите сохранить причинно-следственную связь, вы также должны ввести некоторое поглощение. Абсорбция вводится как комплексный компонент$\omega(k)$а отношения между реальными и сложными (рассеиванием и поглощением) компонентами называются отношениями Крамерса-Кронига .

Проверьте эту ссылку из вики для формального описания деталей того, как причинно-следственная связь связана с этими законами дисперсии-поглощения.

Если мы имеем волну четко определенного направления и частоты, то зависимость поля$F$(что-то, что машет) по положению и времени

$$F = F_0 \cos (\omega t - k_x x - k_y y - k_z z )$$ Взрослые физики использовали бы сложные экспоненты вместо косинуса, но я решил убрать эту потенциально сложную часть математики.

Аргумент косинуса по модулю$2\pi$является «фазой». Из этой фазы извлекается групповая скорость. В пространстве-времени рисуются гиперповерхности постоянной фазы, т.е.

$$\omega t = \vec k \cdot \vec x$$ По фиксированному $t$, это уравнение плоскости. Если мы посмотрим, что происходит с этим самолетом с течением времени, то он движется в поперечном направлении, и скорость движения этого самолета равна $$v_{ph} = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega }{ k}$$ Это называется фазовой скоростью, потому что мы рассчитали ее по фазе (посмотрев, в каких местах фаза постоянна и как эти места перемещаются во времени).

В общем, фазовая скорость может превышать скорость света, потому что на самом деле с фазовой скоростью распространяется «плоскость, на которой фаза постоянна», но эта плоскость не является реальным физическим объектом, несущим информацию. Это просто фиктивное место в пространстве, определяемое математическим свойством «постоянная фаза».

Тот факт, что фазовая скорость может превышать$c$аналогично наблюдению, что если мы сядем в центр большой полой сферы с лампой и будем вращать лампу, то освещенный след лампы на удаленной внутренней поверхности сферы может двигаться быстрее, чем$c$(это безопасно, если радиус сферы достаточно велик). Но мы ничего не передаем из одного места поверхности в другое. Вместо этого свет идет от центра к различным точкам поверхности.

С другой стороны, групповая скорость действительно измеряет фактическое распространение материальных объектов. Мы можем создать «волновой пакет», комбинируя соседние частоты. Можно вывести, что центр такого волнового пакета будет распространяться с групповой скоростью

$$v_g = \frac{d\omega}{dk}$$ и поскольку этот пакет является локализованным объектом, который может нести информацию, относительность запрещает $v_g$превысить скорость света в вакууме $c$.