Граничное условие для гравитации в галактическом масштабе?

На самом деле существует два внешних решения Шварцшильда (название вакуумного решения традиционно зарезервировано для$T_{\mu \nu}$тождественно ноль). Если предположить$p=0$, то из уравнений Эйнштейна следует, что$\varepsilon=0$, слишком. С другой стороны, если предположить$\varepsilon=0$, это не обязательно означает, что$p=0$. Второе решение, в отличие от первого, не является асимптотически плоским. Таким образом, это космологическое решение. Он описывает пространство-время без плотности энергии, но с давлением. Вопрос о том, сможет ли такая внешняя метрика объяснить кривые вращения галактик, требует более тщательного изучения. Я размышляю здесь: пространство-время без материи, но с неисчезающим средним гидростатическим напряжением (= давлением) может быть новым интересным кандидатом на роль таинственной темной материи.

Вывод

Линейный элемент в статическом сферически-симметричном пространстве-времени можно записать как

$$\begin{equation} \label{metric} {\rm d}s^2={\rm e}^{2\nu}c^2{\rm d}t^2-{\rm e}^{2\lambda}{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~, \end{equation}$$ с радиусом кривизны$r$и бесконечно малый элемент поверхности${\rm d}\Omega$2-сферы. Компоненты метрики удовлетворяют уравнениям поля Эйнштейна (EFE) $$\begin{equation}\label{einstein} {\rm{R}}_{\mu}^{~\nu}-\frac{1}{2}{\rm{R}}_{\lambda}^{~\lambda}~\delta_{\mu}^{\nu}=\kappa {\rm{T}}_{\mu}^{~\nu}, \end{equation}$$ где в случае идеальной жидкости тензор энергии напряжений имеет диагональный вид${\rm{T}}_{\mu}^{\nu}\equiv {\rm{diag}}~\{\varepsilon,-p,-p,-p\}$. Умножение обеих частей уравнения EFE на квадрат радиуса кривизны жидкой сферы$R^{2}$делает это уравнение безразмерным. Безразмерные давление и плотность энергии в дальнейших рассуждениях равны$\varepsilon\equiv {\varepsilon}~{\kappa}~c^2R^2$и$p\equiv {p}~{\kappa}~R^2$, с$\kappa$, гравитационная постоянная Эйнштейна$8\pi G/c^4$. Функции метрических компонентов$\nu$и$\lambda$зависят только от безразмерной переменной$u\equiv r^2/ R^2$и параметр компактности$\alpha\equiv r_S/R$.

Требование изотропного давления сводит уравнения поля Эйнштейна к этим трем дифференциальным уравнениям

$$\begin{equation}\label{compactform} {\rm e}^{-\lambda}\frac{\rm d}{{\rm d} u} \left( {\rm e}^{-\lambda}\frac{\rm d}{{\rm d}u}{\rm e}^{\nu}\right) = \frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}u}\left(\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}\right)~{\rm e}^{\nu}~,\tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation}\label{pressure} p=\frac{4}{{\rm e}^{\nu}}\frac{{\rm d}{\rm e}^{\nu}}{{\rm d}u}{\rm e}^{-2\lambda}-\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}~,\tag{2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{density} \varepsilon=\frac{1-{\rm e}^{-2\lambda}}{u}-2~\frac{{\rm d}{\rm e}^{-2\lambda}}{{\rm d}u}~.\tag{3} \end{equation}$$ Первое уравнение можно прочитать как линейное неоднородное уравнение первого порядка для${\rm e}^{-2\lambda}$, или как однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка для${\rm e}^{\nu}$. Таким образом, всего на поверхности звезды можно поставить три граничных условия ($u=1$). Они выражают непрерывность метрики и требования к общей массе.$M$окруженный сферической поверхностью площадью$4\pi R^{2}$. Граничное условие для${\rm e}^{-2\lambda}$является $$\begin{equation}\label{BC1} {\rm e}^{-2\lambda}(1,\alpha)=1-\alpha~,\tag{4} \end{equation}$$ и два граничных условия для${\rm e}^{\nu}$являются $$\begin{equation}\label{BC2&3} {\rm e}^{\nu}(1,\alpha)=\sqrt{1-\alpha},\tag{5} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{{\rm d}{\rm e}^{\nu}}{{\rm d}u}(1,\alpha) = \frac{1}{4}\frac{p_{1}+\alpha}{\sqrt{1-\alpha}}~,~~~p_{1}\equiv{p(1,\alpha)}.\tag{6} \end{equation}$$ Краевое условие (6) не является независимым. Оно получается из уравнения (2) путем подстановки в него (4) и (5).

Давайте решим EFE для статического пространства-времени со сферой постоянной плотности энергии.

$$\begin{equation} \label{Schwarzschildsolution} \varepsilon =\left\{ \begin{array} {rcl} 3~\alpha & \mbox{for} & 0 \leq u \leq 1 \\\\ 0 & \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{7} %\right\parskip \end{equation}$$ Решение дифференциального уравнения (3) для метрической функции$\rm{e}^{-2\lambda}$читает $$\begin{equation} \label{e-2lambda} {\rm e}^{-2\lambda} =\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\alpha~u~ & \mbox{for} & 0\leq u \leq 1 \\ \\1-\alpha/\sqrt{u}~ & \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{8} \end{equation}$$ Решение уравнения (1) дает $$\begin{equation} \label{enulambdazero} {\rm e}^{\nu} =\left\{\begin{array}{rcl} (3/2+p_{1}/\alpha)~\sqrt{1-\alpha }-(1/2+p_{1}/\alpha)~\sqrt{1-\alpha u } & \mbox{for} & 0\leq u \leq 1 \\ \\ \Bigl(1-p_{1}/8~f(1,\alpha)\Bigr)~\sqrt{1-\alpha/\sqrt {u}}+p_{1}/8~\sqrt{1-\alpha}~f(u,\alpha)& \mbox{for} & 1 > u \leq \infty~. \end{array}\right.\tag{9} \end{equation}$$ где вспомогательная функция$f$определяется как $$\begin{equation} f(u,\alpha)\equiv{15~\alpha^{2}~\sqrt{1-\alpha/\sqrt{u}}~\tanh^{-1}{\sqrt{1-\alpha/\sqrt{u}}}-15~\alpha^{2}+5\alpha\sqrt{u}+2u}.\tag{10} \end{equation}$$ Потому что для больших$u$,$f(u)$ведет себя как$\sim 2u$, асимптотически плоское решение возможно, только если$p_{1}$равен нулю. В этом случае метрика сводится к известному внутреннему и внешнему метрическому решению Шварцшильда.

Частный случай - Вселенная без материи, но с давлением

Параметр$\alpha$до нуля ($\varepsilon=0$) получается метрика

$$\begin{equation} \label{metricwithoutmatter} {\rm d}s^2=(1-p_{1}/4+p_{1}/4~u)^2~c^2{\rm d}t^2-{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~,\tag{11} \end{equation}$$ где$p_{1}\equiv p(R)$и$u\equiv (r/R)^{2}$.

Давление и плотность энергии задаются как

$$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressure} p=p_{1}~{\rm e}^{-\nu}\equiv p_{1}/(1-p_{1}/4+p_{1}/4~u),~~~~~~\varepsilon=0.\tag{12} \end{equation}$$ Для$p_{1}=4$метрика (11) сводится к $$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressurespecial} {\rm d}s^2=(r/R)^4~c^2{\rm d}t^2-{\rm d}r^2-r^2{\rm d}\Omega^2~,\tag{13} \end{equation}$$ а давление и плотность энергии равны $$\begin{equation} \label{metricwithoutmatterpressure2} \varepsilon=0,~~~~~~p=2~c^{4}/G\cdot 1/(4\pi r^{2}).\tag{14} \end{equation}$$ Это решение можно интерпретировать как черную дыру без массы.