Граничные условия, обусловленные локальными и глобальными диффеоморфизмами

Question

Граничные условия, обусловленные локальными и глобальными диффеоморфизмами

реклама-cft
Физика
общая теория относительности
граничные условия
анти-де-ситтер-пространство-время
диффеоморфизм-инвариантность

кошмарный

Рассмотрим следующий отрывок со страницы 2 этой статьи .

$AdS_3$ это $SL(2, \mathbb{R})$ групповое многообразие и, соответственно, имеет $SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ группа изометрии. Чтобы определить квантовую теорию $AdS_3$ , мы должны задать граничные условия на бесконечности. Они должны быть достаточно ослаблены, чтобы допускать возбуждения с конечной массой и действие $SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ , но достаточно плотно, чтобы можно было четко определить действие группы диффеоморфизмов.

$SL(2, \mathbb{R})_{L} \times SL(2, \mathbb{R})_{R}$ кодирует глобальные преобразования $AdS_{3}$ :

Эти преобразования преобразуют физическое состояние в другое физическое состояние.
Эти преобразования достигают бесконечности.

Локальные пространственно-временные диффеоморфизмы $AdS_{3}$ кодировать калибровочные преобразования $AdS_{3}$ :

Эти преобразования превращают физическое состояние в само себя.
Эти преобразования не достигают бесконечности.

Почему граничные условия в пространстве-времени должны быть достаточно ослабленными , чтобы допускать действие глобальных преобразований, но достаточно жесткими , чтобы допускать четко определенное действие локальной группы диффеоморфизмов.

Я знаю, что глобальные преобразования и группа диффеоморфизмов определенно находятся в напряжении, но я не понимаю, что означают слова достаточно расслабленный , достаточно жесткий и четко определенный .

любопытный разум

В отрывке есть несколько неправильных/неясных моментов:

{A d S}_{3}

$\mathrm{AdS}_3$ и

S L (2, R)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ гомеоморфны

R^{2} \times S^{1}

$\mathbb{R}^2\times S^1$ , естественная групповая структура на последнем (сложение по первым двум координатам, умножение на окружности) не является групповой структурой

S L (2, R)

$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ и AdS не имеет групповой структуры, поэтому неясно, как первое должно быть «групповым многообразием» второго. Почему это привело бы к тому, что «группа изометрии» была бы двумя копиями

S L (2)

$\mathrm{SL}(2)$ ?

S L (2)

$\mathrm{SL}(2)$ даже не имеет метрики априори!

кошмарный

Статья, вероятно, неясна (это не может быть ошибкой - этот отрывок взят из раздела статьи, в котором рассматривается центральный заряд Брауна-Энно - это основополагающее открытие, и оно сыграло важную роль в открытии AdS/CFT). Эта статья Строминджера сама по себе является новаторской работой в области энтропии черных дыр, а также ее микросостояний и связывает асимптотический рост состояний Карди с энтропией BTZ). В главе 1 данной диссертации — staff.fnwi.uva.nl/j.deboer/education/projects/projects/… — рассматриваются соответствующие темы.

Дану

@nightmarish И это было бы... авторитетным доказательством? ;-) А если серьезно, то определенно верно, что этот отрывок из статьи невероятно неточен и в лучшем случае неясен с математической точки зрения. Это не обязательно делает недействительным физический анализ в остальной части статьи и не означает, что автор не знает, о чем говорит. Вероятно, это просто означает, что он не заботится о математической точности (и это нормально! Хотя мне это не нравится).

Дану

@ACuriousMind Просто мозговой штурм: я думаю, что физикам нравится неявно помещать биинвариантные метрики в свои группы Ли, и тогда вы получаете изометрическую (под)группу

G_{L} \times G_{R}

$G_L\times G_R$ , с метками, указывающими, с какой стороны вы должны действовать. Так что хотя бы в этом смысле

S L (2, R)

$SL(2,\Bbb R)$ имеет эти изометрии, и тогда можно объявить гомеоморфизм

A d S_{3}

$AdS_3$ быть изометрическим диффеоморфизмом, я думаю...

кошмарный

@CuriousMind Теперь, когда я подумал об этом, я обнаружил, что обзор центрального заряда Брауна-Энно написан плохо. Спасибо, что указали на это.

Ответы (1)

Граничные условия, обусловленные локальными и глобальными диффеоморфизмами

В отрывке есть несколько неправильных/неясных моментов: $\mathrm{AdS}_3$ и $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ гомеоморфны $\mathbb{R}^2\times S^1$ , естественная групповая структура на последнем (сложение по первым двум координатам, умножение на окружности) не является групповой структурой $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ и AdS не имеет групповой структуры, поэтому неясно, как первое должно быть «групповым многообразием» второго. Почему это привело бы к тому, что «группа изометрии» была бы двумя копиями $\mathrm{SL}(2)$ ? $\mathrm{SL}(2)$ даже не имеет метрики априори!
Статья, вероятно, неясна (это не может быть ошибкой - этот отрывок взят из раздела статьи, в котором рассматривается центральный заряд Брауна-Энно - это основополагающее открытие, и оно сыграло важную роль в открытии AdS/CFT). Эта статья Строминджера сама по себе является новаторской работой в области энтропии черных дыр, а также ее микросостояний и связывает асимптотический рост состояний Карди с энтропией BTZ). В главе 1 данной диссертации — staff.fnwi.uva.nl/j.deboer/education/projects/projects/… — рассматриваются соответствующие темы.
@nightmarish И это было бы... авторитетным доказательством? ;-) А если серьезно, то определенно верно, что этот отрывок из статьи невероятно неточен и в лучшем случае неясен с математической точки зрения. Это не обязательно делает недействительным физический анализ в остальной части статьи и не означает, что автор не знает, о чем говорит. Вероятно, это просто означает, что он не заботится о математической точности (и это нормально! Хотя мне это не нравится).
@ACuriousMind Просто мозговой штурм: я думаю, что физикам нравится неявно помещать биинвариантные метрики в свои группы Ли, и тогда вы получаете изометрическую (под)группу $G_L\times G_R$ , с метками, указывающими, с какой стороны вы должны действовать. Так что хотя бы в этом смысле $SL(2,\Bbb R)$ имеет эти изометрии, и тогда можно объявить гомеоморфизм $AdS_3$ быть изометрическим диффеоморфизмом, я думаю...
@CuriousMind Теперь, когда я подумал об этом, я обнаружил, что обзор центрального заряда Брауна-Энно написан плохо. Спасибо, что указали на это.

Qмеханик · Answer 1

Под «граничными условиями» (BC) в настройках AdS/CFT (или, что то же самое, в настройках Грэма-Феффермана ) мы не подразумеваем граничные условия НА границе $r=\infty$ , а условия спада РЯДОМ с границей $r\to\infty$ . Со стороны GR необходимо указать условия спада на метрике. $g_{\mu\nu}$ . Фактические БК обычно являются результатом несколько запутанных вычислений.

БК должны для начала:

быть достаточно расслабленным, чтобы допустить групповое действие преобразований глобальной асимптотической симметрии и возбуждений конечной массы, например множественных звезд и черных дыр, потому что мы хотим, чтобы модель могла их учитывать и описывать.
быть достаточно тугим (т.е. спадать достаточно быстро для $r\to\infty$ ) для интеграла действия Эйнштейна-Гильберта $S_{EH}[g]$ из разрешенных метрик $g_{\mu\nu}$ быть четко определенным с конечным значением, возможно, после перенормировки.
быть совместимым с EFE .

Граничные условия, обусловленные локальными и глобальными диффеоморфизмами

кошмарный

любопытный разум

кошмарный

Дану

Дану

кошмарный

Ответы (1)

Qмеханик

Помогите разобраться с граничными условиями на AdS3AdS3AdS_3

Получение диффеоморфизмов из граничных условий в AdS3AdS3AdS_3

Алгебра асимптотической симметрии

Поиск сверхпотенциалов и центральных зарядов в AdS3AdS3AdS_3

Диффеоморфизмы и граничные условия

Получение патча Пуанкаре из глобальных координат в AdS33_{3}

Роль канонического ансамбля и электрического заряда в AdS/CFT

Преобразование симметрии в пространстве AdS

Периодическое движение времениподобных геодезических в однородном AdS-пространстве-времени

6 независимых уравнений поля Эйнштейна?