Сфера Блоха прекрасно минималистична.

Обычно кубит имеет четыре реальных параметра;

$$|\psi\rangle=a e^{i\chi} |0\rangle + b e^{i\varphi} |1\rangle.$$ Тем не менее, некоторое быстрое понимание показывает, что компромисс a - vs- b имеет только одну степень свободы из-за нормализации a ² + b ² = 1, а более внимательное понимание показывает, что в том, как мы строим ожидаемые значения в QM, вы не можете наблюдать сами χ или φ , а только разность χ – φ , которая является 2 π - периодической. (Подробнее об этом говорится в комментариях ниже, но вкратце: QM предсказывает только средние значения.$\langle \psi|\hat A|\psi\rangle$и смещая общую фазу волновой функции на некоторое$|\psi\rangle\mapsto e^{i\theta}|\psi\rangle$поэтому отменяется в каждом предсказании.)

Итак, если вы думаете о том, что вам нужно, на самом абстрактном уровне, вы просто рисуете линию от 0 до 1, представляющую компромисс a - vs- b : сколько это стоит в одном из этих двух состояний? Затем вы рисуете вокруг него круги: насколько велика разница фаз? Что мешает ему быть цилиндром, так это то, что разность фаз перестает иметь значение, когда a = 1 или b = 1, поэтому круги должны сжиматься до точек. И вуаля , у вас есть что-то, что топологически эквивалентно сфере. Сфера содержит всю информацию, необходимую для экспериментов, и больше ничего.

Это тоже физическая, реальная сфера в трехмерном пространстве.

Это более шокирующий факт. Учитывая только простую картинку выше, вы могли бы подумать, что все это была безобидная математика: нет! На самом деле квинтэссенцией кубита является система со спином 1/2, а матрицы Паули указывают, как система вращается вокруг осей x , y или z . Это система, в которой мы идентифицируем

$$|0\rangle\leftrightarrow|\uparrow\rangle, \\ |1\rangle\leftrightarrow|\downarrow\rangle,$$ и разность фаз появляется при выборе оси + x через $$|{+x}\rangle = \sqrt{\frac 12} |0\rangle + \sqrt{\frac 12} |1\rangle.$$

Ортогональные направления пространства не являются ортогональными по Гильберту в трактовке КМ, потому что физика этой системы работает иначе. Гильберт-ортогональные состояния несоизмеримы: если вы находитесь в этом состоянии, вы определенно не находитесь в том. Но эта система имеет спин с определенной полной величиной$\sqrt{\langle L^2 \rangle} = \sqrt{3/4} \hbar$, но только$\hbar/2$из них указывает в направлении, в котором он «наиболее направлен», что означает, что он должен быть распределен по какому-то «кольцу» вокруг этого направления. Соответственно, когда вы измеряете, что он находится в направлении + z , оказывается, что он также как бы наполовину в направлении + x , наполовину в направлении – x . (Здесь «что-то вроде» означает: это так, если вы последуете измерению x , которое «схлопнет» систему в точку → или ← с угловым моментом$\hbar/2$и тогда она окажется в соответствующих «кольцах» вокруг оси x .)

Сферические координаты из комплексных чисел

Итак, давайте спросим, ​​«в каком направлении происходит общее вращение — ½$|\psi\rangle$наверху, большинство крутится внутри? Это требует построения наблюдаемой.

Чтобы привести наблюдаемый пример, если направление + z больше всего закручено государством$|\uparrow\rangle$тогда наблюдаемое для$z$-спин - это матрица Паули

$$\sigma_z = |\uparrow\rangle\langle\uparrow| - |\downarrow\rangle\langle\downarrow|=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},$$ что равно +1 в том состоянии, в котором оно находится, -1 в гильберт-перпендикулярном состоянии$\langle \downarrow | \uparrow \rangle = 0.$

Точно так же, если вы посмотрите на

$$\sigma_x = |\uparrow\rangle \langle \downarrow | + |\downarrow \rangle\langle \uparrow |=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},$$ вы увидите, что$|{+x}\rangle$состояние, определенное выше, является собственным вектором с собственным значением +1, и аналогично должно быть$|{-x}\rangle \propto |\uparrow\rangle - |\downarrow\rangle$удовлетворяющий$\langle {+x}|{-x}\rangle = 0,$и вы можете восстановить$\sigma_x = |{+x}\rangle\langle{+x}| - |{-x}\rangle\langle{-x}|.$

Итак, давайте теперь сделаем это в общем. Состояние, ортогональное$|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$не так уж сложно вычислить, так как$|\bar \psi\rangle = \beta^*|0\rangle - \alpha^* |1\rangle,$поэтому наблюдаемая, равная +1 в этом состоянии или -1 в противоположном состоянии, равна:

$$\begin{align} |\psi\rangle\langle\psi| - |\bar\psi\rangle\langle\bar\psi| &= \begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\alpha^*&\beta^*\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\beta^*\\-\alpha^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\beta & -\alpha\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}|\alpha|^2 - |\beta|^2 & 2 \alpha\beta^*\\ 2\alpha^*\beta & |\beta|^2 - |\alpha|^2\end{bmatrix} \end{align}$$ Написание этого как$v_i \sigma_i$где$\sigma_i$получаем матрицы Паули: $$v_z = |\alpha|^2 - |\beta|^2,\\ v_x + i v_y = 2 \alpha^* \beta.$$ Теперь вот волшебство, давайте позволим рецепт Блоха писать $$\alpha=\cos\left(\frac\theta2\right),~~\beta=\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\varphi},$$ мы узнаем, что это: $$\begin{align} v_z &= \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) &=&~ \cos \theta,\\ v_x &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\cos(\phi) &=&~ \sin \theta~\cos\phi, \\ v_y &= 2 \cos(\theta/2)\sin(\theta/2) ~\sin(\phi) &=&~ \sin \theta~\sin\phi. \end{align}$$ Таким образом, рецепт Блоха использует$(\theta, \phi)$которые являются просто сферическими координатами точки на сфере, которую$|\psi\rangle$«больше всего вращается в направлении».

Таким образом, вместо того, чтобы быть чисто теоретической визуализацией, мы можем сказать, что система со спином 1/2, прототип кубита, на самом деле вращается в направлении, заданном координатами сферы Блоха! (По крайней мере, в той мере, в какой раскручивается раскручивающаяся система.) Это безжалостно физически : вы хотите отмахнуться от него в математический угол, и он говорит: «Нет, для реальных систем я указываю в этом направлении в реальном трехмерном пространстве ». пространство , и вы должны обратить на меня внимание».

Как они отвечают на ваши вопросы.

1. Да, N и S пространственно параллельны, но в гильбертовом пространстве они ортогональны. Эта гильбертовская ортогональность означает, что система не может быть одновременно спин-вверх и спин-вниз. И наоборот, отсутствие гильбертовой ортогональности, скажем, между направлениями z и x означает, что при измерении z - вращения у вас могут быть ненулевые измерения спина в x -направлении, что является ключевой особенностью таких систем. Действительно, наличие двух разных понятий «ортогональности», одно для физического пространства, а другое для гильбертова, немного сбивает с толку, но это происходит из-за наличия двух разных пространств, на которые вы смотрите.

2. Один из способов понять, почему углы физически очень полезны, приведен выше. Но, как упоминалось в первом разделе, вы также можете рассматривать это как чисто математическое упражнение по попытке описать конфигурационное пространство с помощью сферы: тогда вы, естественно, имеете полярный угол как разность фаз, которая равна$2\pi$-периодическая, так что это естественно "азимутальная" координата; поэтому способ, которым координата лежит вдоль 0/1, должен быть «полярной» координатой с отображением 0 в$|0\rangle$и отображение π в$|1\rangle$. Очевидный способ сделать это с$\cos(\theta/2)$отображение от 1 до 0 вдоль этого диапазона, как амплитуда для$|0\rangle$государство; дело в том, что$\cos^2 + \sin^2 = 1$означает, что$|1\rangle$государство должно подобрать$\sin(\theta/2)$амплитуда, чтобы соответствовать ему.

А. Системы с двумя состояниями

Пусть система с двумя состояниями, причем состояния не зависят от пространственно-временных координат. В этом случае система имеет новую степень свободы . Классический пример — частица со спиновым угловым моментом$\:\frac12 \hbar\:$.

Пусть двум состояниям соответствуют основные состояния

$$\begin{equation} \vert u\rangle= \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} \equiv \text{up state} \,, \quad \vert d\rangle= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \equiv \text{down state} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ названное состояние up и down соответственно.

Состояние системы выражается вектором состояния

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi\vert u\rangle \boldsymbol{+} \eta\vert d\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi,\eta \in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta\vert^{2} =1 \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ Комплексные числа$\:\xi,\eta\:$- амплитуды вероятности и неотрицательные действительные числа$\:\vert\xi\vert^{2},\vert\eta\vert^{2}\:$вероятности того, что система находится в состоянии$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$соответственно.

Гильбертово пространство состояний системы во многом идентично (единичной сфере) комплексному пространству$\:\mathbb{C}^{2}$.

Наблюдаемая система будет представлена$\:2\times2\:$ эрмитова матрица A вида

$$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} a_3 & a_1\!\boldsymbol{-}\!ia_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ a_1\!\boldsymbol{+}\!ia_2 & a_4\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad \text{with} \:\:\:\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right) \in \mathbb{R}^{4} \tag{03}\label{03} \end{equation}$$ поэтому линейное пространство$\:2\times2\:$эрмитова матрица во многом идентична$\:\mathbb{R}^{4}$. Из обычной основы$\:\mathbb{R}^{4}\:$мы строим базис для этого пространства матриц $$\begin{equation} E_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: E_4= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{04}\label{04} \end{equation}$$

Теперь, если основные состояния$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$уравнения$\eqref{01}$соответствуют собственным состояниям собственных значений$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$соответственно наблюдаемой, то эта наблюдаемая будет представлена ​​матрицей

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{05}\label{05} \end{equation}$$ не входит в $\eqref{04}$. Но вместо основы $\eqref{04}$мы могли бы использовать следующие их линейные комбинации $$\begin{align} E'_1 \!=\!E_1\!=\!& \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad\qquad\quad \,E'_2 \!=\!E_2\!=\! \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \nonumber\\ E'_3\!=\!\left(E_3\!-\!E_4\right)\!=\!& \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \qquad E'_4 \!=\!\left(E_3+E_4\right)\!=\! \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{06}\label{06} \end{align}$$ и изменение символов и расположения

$$\begin{equation} I= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_1= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}1 \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}}0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_2= \begin{bmatrix} 0 & \!\!\boldsymbol{-} i \vphantom{\tfrac{a}{b}}\\ i & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0\vphantom{\tfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \quad , \:\:\: \sigma_3= \begin{bmatrix} 1 & \!\!\hphantom{\boldsymbol{-}} 0 \vphantom{\frac{a}{b}}\\ 0 & \!\!\boldsymbol{-} 1\vphantom{\frac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ куда$\:\boldsymbol{\sigma}=\left(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\right)\:$матрицы Паули .

Теперь основные состояния$\:\vert u\rangle,\vert d\rangle\:$уравнения$\eqref{01}$являются собственными состояниями$\:\sigma_3\:$поэтому необходимо выразиться с индексом$\:'3'\:$

$$\begin{equation} \vert u_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \,, \quad \vert d_3\rangle= \begin{bmatrix} \:\:0\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ Это необходимо сделать для амплитуд вероятности$\:\xi,\eta\:$также $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_3,\eta_3\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1 \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ Причина этого в том, что мы можем использовать в качестве основных состояний гильбертова пространства одинаково хорошо собственные состояния$\:\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle\:$собственных значений$\:\boldsymbol{+}1,\boldsymbol{-}1\:$соответственно$\:\sigma_1\:$ $$\begin{equation} \vert u_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_1\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -1\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}\vert d_3\rangle\right) \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ чтобы $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_1,\eta_1\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_1\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_1\vert^{2} =1 \tag{11}\label{11} \end{equation}$$ или относящиеся к$\:\sigma_2\:$ $$\begin{equation} \vert u_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \:\:i\:\:\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{+}i\vert d_3\rangle\right) \,, \quad \vert d_2\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{bmatrix} \:\:1\:\vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ -i\:\,\vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\vert u_3\rangle \boldsymbol{-}i\vert d_3\rangle\right) \tag{12}\label{12} \end{equation}$$ чтобы $$\begin{equation} \vert\psi\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle \quad \text{where} \:\:\:\xi_2,\eta_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\:\:\: \vert\xi_2\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_2\vert^{2} =1 \tag{13}\label{13} \end{equation}$$ собственные состояния$\vert u_1\rangle,\vert d_1\rangle,\vert u_2\rangle,\vert d_2\rangle$схематично показаны на рисунке-04.

В настоящее время,

$$\begin{align} \xi_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}\eta_3\right) \tag{14a}\label{14a}\\ \eta_1 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}\eta_3\right) \tag{14b}\label{14b} \end{align}$$ так $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15a}\label{15a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{15b}\label{15b} \end{align}$$ Также $$\begin{align} \xi_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{-}i\eta_3\right) \tag{16a}\label{16a}\\ \eta_2 & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\xi_3\boldsymbol{+}i\eta_3\right) \tag{16b}\label{16b} \end{align}$$ так $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17a}\label{17a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) \tag{17b}\label{17b} \end{align}$$ В уравнениях $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$по$\:z^{\boldsymbol{*}}\:$обозначим комплексно-сопряженное комплексное число$\:z\:$и по$\:\mathrm{Re}\left(z\right),\mathrm{Im}\left(z\right)\:$действительная и мнимая части$\:z$.

С$\:\vert\xi_3\vert^{2} \boldsymbol{+}\vert\eta_3\vert^{2} =1\:$мы устанавливаем (см. Рисунок-01)

$$\begin{align} \xi_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3} \:\:,\qquad 0\le\omega_3\le\frac{\pi}{2} \tag{18a}\label{18a}\\ \eta_3 & =\sin\omega_3\cdot e^{i\beta_3} \tag{18b}\label{18b}\\ \theta_3 & =2\omega_3=\text{polar angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\theta_3\le \pi \tag{18c}\label{18c} \end{align}$$ так $$\begin{align} \xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3 & =\cos\omega_3\cdot e^{i\alpha_3}\sin\omega_3\cdot e^{\boldsymbol{-}i\beta_3}=\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\cdot e^{\boldsymbol{-}i\left(\beta_3 \boldsymbol{-}\alpha_3\right)} =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3} \tag{19a}\label{19a}\\ \phi_3 & = \beta_3\boldsymbol{-}\alpha_3 =\text{azimuthal angle with respect to $x_3-$axis}\:\:,\qquad 0\le\phi_3\le 2\pi \tag{19b}\label{19b} \end{align}$$ По этим определениям $$\begin{align} \mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Re}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cos\phi_3=\rho_3\cos\phi_3 \tag{20a}\label{20a}\\ \mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right) & =\mathrm{Im}\left(\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\cdot e^{ \boldsymbol{-}i\phi_3}\right)=\boldsymbol{-}\dfrac{1}{2}\sin\theta_3\sin\phi_3=\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3 \tag{20b}\label{20b}\\ \rho_3 & =\vert\xi_3\vert \cdot\vert\eta_3\vert =\cos\omega_3\sin\omega_3 =\dfrac{1}{2}\sin\theta_3 \tag{20c}\label{20c} \end{align}$$ и уравнения $\eqref{15a}$, $\eqref{15b}$, $\eqref{17a}$, $\eqref{17b}$дают следующие вероятности $$\begin{align} \vert\xi_1\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21a}\label{21a}\\ \vert \eta_1\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Re}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\cos\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\cos\phi_3\right) \tag{21b}\label{21b} \end{align}$$ $$\begin{align} \vert\xi_2\vert ^{2} & =\frac12\boldsymbol{-}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{+}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{+}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22a}\label{22a}\\ \vert \eta_2\vert^{2} & =\frac12\boldsymbol{+}\mathrm{Im}\left(\xi_3\eta^{\boldsymbol{*}}_3\right)=\frac12\boldsymbol{-}\rho_3\sin\phi_3=\frac12\left(1\boldsymbol{-}\sin\theta_3\sin\phi_3\right) \tag{22b}\label{22b} \end{align}$$

Обратите внимание, что состояние$\vert\psi\rangle$уравнения$\eqref{09}$может быть выражен как

$$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}e^{i\alpha_3}\left[\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \right] \tag{23}\label{23} \end{equation}$$ или пренебрегая фазовым фактором$e^{i\alpha_3}$ $$\begin{equation} \vert\psi\rangle \boldsymbol{=}\cos\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} e^{i\phi_3}\sin\left(\dfrac{\theta_3}{2}\right)\vert d_3\rangle \tag{24}\label{24} \end{equation}$$

---

B. На сфере - в шаре

На рисунке-01 мы видим детали определений$\eqref{18a}$,$\eqref{18b}$а также$\eqref{18c}$. Это вид на плоскость из точки на плоскости окружности$\:\rm{K_3}\Xi$на рисунке-03. Обратите внимание, что этот рисунок-01 действителен, если все индексы$\:'3'\:$будет заменен$\:'1'\:$или же$\:'2'$. Определение и значение различных точек будут даны ниже.

На рисунке-02 мы видим геометрию уравнений$\eqref{21a}$,$\eqref{21b}$а также$\eqref{22a}$,$\eqref{22b}$. Это вид сверху с точки на плюсах$\:x_3-$ось.

См. 3D-вид Рисунка-03 здесь.

На рисунке-03 у нас есть сфера диаметром 1 в трехмерном пространстве.$\:\mathbb{R}^{3}\:$не тождественно физическому пространству. На сфере точка$\:\Xi\:$представляет состояние системы

$$\begin{equation} \psi =\xi_1\vert u_1\rangle \boldsymbol{+} \eta_1\vert d_1\rangle = \xi_2\vert u_2\rangle \boldsymbol{+} \eta_2\vert d_2\rangle = \xi_3\vert u_3\rangle \boldsymbol{+} \eta_3\vert d_3\rangle \tag{25}\label{25} \end{equation}$$ Теперь для$\:\jmath=1,2,3\:$ $$\begin{align} \rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:+1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.01}\label{26.01}\\ \rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = point\:\:on\:\:-1/2\:\:of\:\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis\:\:representing\:\:the\:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.02}\label{26.02}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}} & = projection\:\:of\:\:the\:\:state\:\:point\:\:\Xi\:\:on\:\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.03}\label{26.03}\\ \Xi\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.04}\label{26.04}\\ \Xi\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert=magnitude\:\: of\:\: probability\:\: amplitude\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.05}\label{26.05}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm A_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert d_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.06}\label{26.06}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\rm B_{\boldsymbol{\jmath}} & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert^{2}= probability\:\: of \:\: \vert u_{\boldsymbol{\jmath}}\rangle\:\: eigenstate \tag{26.07}\label{26.07}\\ \theta_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= polar\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.08}\label{26.08}\\ \phi_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm O_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm A_{\boldsymbol{\jmath}})= azimuthal\: angle \: with\:respect\:to\:the\:x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.09}\label{26.09}\\ \omega_{\boldsymbol{\jmath}} & = \angle(\Xi\mathrm B_{\boldsymbol{\jmath}}\mathrm K_{\boldsymbol{\jmath}})= half\:the\:polar\: angle \: \theta_{\boldsymbol{\jmath}} \tag{26.10}\label{26.10}\\ \rm K_{\boldsymbol{\jmath}}\Xi & = \vert\xi_{\boldsymbol{\jmath}}\vert\cdot\vert\eta_{\boldsymbol{\jmath}}\vert= \rho_{\boldsymbol{\jmath}}= radius\: of \: the\:circle,\:intersection\: of\:the\: sphere \nonumber\\ & \hphantom{=}\:\:with \:the\: plane\:through\:point\:\Xi\:normal\:to\:the\: x_{\boldsymbol{\jmath}}\!-\!axis \tag{26.11}\label{26.11} \end{align}$$

Вы можете связать точки на поверхности единичной сферы с чистыми спиновыми состояниями следующим простым способом.

Точка сферы$(n_x,n_y,n_z)$связан с собственным вектором оператора$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$с положительным собственным значением и наоборот. Это включает в себя все спиновые состояния одной частицы со спином 1/2.

И это не рандом, не визуализация и не математика. Если у вас есть прибор Штерна-Герлаха с неоднородностью магнитного поля, направленной в направлении$(n_x,n_y,n_z)$то он будет постоянно отклонять этот луч в определенном направлении, когда он находится в том состоянии, которое является собственным для$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$

Но разве это не очень запутанно? Если выбраны северный и южный полюса, то оба состояния находятся на одной линии и больше не ортогональны,

Это нисколько не сбивает с толку. Геометрия связана с ориентацией физического устройства в лаборатории, для которого ваше состояние дает надежные результаты. Устройство, ориентированное в противоположном направлении, также дает надежные результаты. Для ортогональных состояний характерно то, что теоортгональные состояния могут быть собственными для одного и того же оператора.

Таким образом, разные точки сферы Блоха определяют разные ориентации, которые дают результат «вверх» для разных состояний. Не путайте ориентацию измерительного устройства в трехмерном пространстве с геометрией состояний в спиновом пространстве.

так как же можно выбрать произвольную точку$p$на поверхности сферы и, возможно, разложить ее по$0,1$состояния, чтобы найти$a$а также$b$?

Это наоборот. Как вы решили назвать одно состояние 0, а другое 1? Вы выбрали случайную ориентацию и назвали ее z, а затем сориентировали свое устройство так, чтобы неоднородность магнитного поля находилась в этом направлении. Это дало вам взлеты и падения.

Но теперь мы можем указать любое спиновое состояние. Ты же у тебя произвольная точка$(n_x,n_y,n_z)$затем найдите собственный вектор$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z.$с положительным собственным значением. Назови это$\left|s\right\rangle,$тогда

$$\left|s\right\rangle=\langle 0\left|s\right\rangle\left|0\right\rangle+\langle 1\left|s\right\rangle\left|1\right\rangle$$ так вот твой $a$а также $b$за исключением того, что вы не знаете общую фазу и величину, но состояние вращения одной частицы не имеет ни одного из них.

Означает ли это, что сферу Блоха не следует рассматривать как достоверную основу для нашей системы и что это всего лишь средство визуализации?

Нет, значит не надо путать тогда лабораторную геометрию с геометрией гильбертова пространства. Физика — экспериментальная наука, поэтому они, безусловно, связаны, но это не одно и то же.

Если вы хотите спроецировать вектор на собственное пространство, вы не проецируете метки друг на друга. У вас может быть спиновое состояние и другое спиновое состояние, и когда вы пропускаете одно через устройство Штерна-Герлаха, ориентированное на другое, тогда пространственные степени свободы расщепляются и разделяются на одну, которая находится вверху в этом направлении, и одну, которая пространственно вниз от этого направления. направление и состояние вращения буквально меняются, указывая вверх в луче, который пространственно поднимался, и вниз в луче, который опускался. Таким образом, спин одной частицы запутался с ее собственным положением.

Размер гильбертовой проекции говорит вам о размере пространственных частей, которые были отклонены и разделены. Но вам также не нужно буквально запоминать такие правила. Если вы запишете уравнение Шредингера для устройства Штерна-Герлаха, луч разделится и разделится на части правильного размера, а спины выровняются по двум поляризациям, и это произойдет без вашего указания.

Итак, спиновое состояние ясно. Он говорит вам, в каком направлении он будет надежно двигаться, если вы дадите ему шанс. И если вы поместите его в по-разному ориентированный Штерн-Герлах, он будет вынужден двигаться в одном из двух направлений, разрешенных этой ориентацией, и он разделится и пойдет в обоих направлениях. Чтобы получить размеры каждой части, вы можете развить уравнение Шредингера или вычислить собственные векторы оператора$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z$и украсьте его собственным вектором положительного собственного значения, ортогональным другому вектору.

И да, есть более простые способы сделать это, и вы можете извлечь из этого больше пользы. Но, надеюсь, вы видите другую геометрию.

Не могли бы вы показать, как можно получить$cos \theta/2$а также$e^{i\phi}$условия?

Я использовал спиновые операторы Паули, если вы хотите выбрать базис, вы можете записать их в виде матриц (оператор — это функция в векторном пространстве, матрица заменяет оператор после выбора базиса; оператор существует и то же самое независимо от того, какой базис вы можете или не можете выбрать позже).

$$n_x\sigma_x+n_y\sigma_y+n_z\sigma_z=\left(\begin{matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x+in_y&-n_z \end{matrix}\right).$$

И собственный вектор с положительным собственным значением равен$\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right),$пока не$n_z=1$тогда это$\left(\begin{matrix} 1\\ 0 \end{matrix}\right).$Разберемся с случаем$n_z=1$во-первых, в таком случае$a=1$а также$b=0$а также$\theta=0$так$a=\cos(\theta/2)$,$b=e^{i\phi}\sin(\theta/2)$все получается.

Если вы хотите записать собственный вектор как единичный вектор, вы получите$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}}\left(\begin{matrix} -n_x+in_y \\ n_z-1 \end{matrix}\right).$Если вы хотите настроить фазу так, чтобы первая координата была реальной и положительной, вы получите$\frac{1}{\sqrt{2-2n_z}\sqrt{n_x^2+n_y^2}}\left(\begin{matrix}n_x^2+n_y^2\\ (n_x+in_y)(1-n_z) \end{matrix}\right).$

Остальное тригометрия, например$\frac{n_x+in_y}{\sqrt{n_x^2+n_y^2 }}=e^{i\phi}.$Так что нам просто нужно показать, что$\cos(\theta/2)=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}$и что$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-n_z}{2}}.$Последнее является триггерным тождеством$\sin(\theta/2)=\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}.$

Первый

$$\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{n_x^2+n_y^2+n_z^2-n_z^2}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1-n_z^2}{2-2n_z}}=\sqrt{\frac{(1-n_z)(1+n_z)}{2-2n_z}}$$ $$=\sqrt{\frac{1+n_z}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}=\cos(\theta/2).$$

Простой расширенный комментарий, упрощающий прекрасный ответ @Timaeus до более запоминающейся формы.

Вектор состояния

$$|\psi\rangle= \begin{pmatrix} \cos \theta/2 \\ e^{i\phi} \sin \theta/2 \end{pmatrix}$$ определяет матрицу плотности чистого состояния через свой оператор проектирования, $$\bbox[yellow]{ |\psi\rangle \langle \psi | = \begin{pmatrix} \cos^2 \theta/2 & \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{-i\phi} \\ \sin \theta/2 ~ \cos\theta/2 ~e^{i\phi} & \sin^2 \theta/2 \end{pmatrix}=\rho }~.$$ Обратите внимание на явную инвариантность при полной перефазировке$|\psi\rangle$.

Выражение общих принципов этой идемпотентной эрмитовой матрицы плотности также, очевидно,

$$\rho=\frac{1}{2}(1\!\! 1 + \hat n \cdot \vec \sigma) ,$$ с$\hat n = (\sin \theta \cos \phi, \; \sin \theta \sin \phi, \; \cos \theta)^T.$

Это$\hat z$ось поворачивается на$\hat n$ось на полные (присоединенные) углы поворота, задающие полуугловое (спинорное, фундаментальное) операторное выражение.

Подумайте о спине фотона

Размышление об этом более конкретном случае помогло мне получить в голове несколько полезных картинок. Есть даже хорошо известный аналог, более ориентированный на оптику, который стоит иметь в виду: сфера Пуанкаре .

Спин фотона — это квантовая система с двумя состояниями , которую, как упоминает Фробениус , моделирует сфера Блоха.

Вращение фотона также легко понять/визуализировать/манипулировать экспериментально.

Физические поляризаторы

Сначала давайте подумаем о самом конкретном из возможных: о поляризаторах.

Есть два типа поляризационных фильтров, о которых вы могли бы подумать:

• линейный поляризатор, под любым углом между -90 и 90.

  Например, вот один на 90 градусов:

  

  а вот один на 45 градусов:

  

  а вот один при 0 градусов:

  

  Источник

  В Википедии описано несколько способов создания таких фильтров, а на приведенных выше картинках изображены фильтры Polariod , которые используются в солнцезащитных очках и фотографии и поэтому легко доступны.

  С точки зрения квантовой механики, 90-градусная и 0-градусная ориентация дают одно и то же измерение: единственная разница в том, что одна пропускает фотон, а другая блокирует его. Но мы можем использовать оба в равной степени для определения уровня линейной вертикальной поляризации фотона: вам просто нужно взять дополнительное значение.

  А поскольку каждое измерение соответствует эрмитовой матрице , мы можем представить как 0, так и 90 с помощью одной матрицы:

  $$M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

  А матрица для 45 градусов такая:

  $$M_+ = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

• круговой поляризатор, который, как объясняет Википедия , обычно состоит из четвертьволновой пластины + линейный поляризатор:

  

  Источник .

  Его соответствующая матрица:

  $$M_i = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Приведенные выше матрицы являются так называемыми матрицами Паули .

Некоторые интересные векторы состояния

Теперь давайте назовем 6 полюсов, представляющих 6 возможных интересных состояний фотонов на сфере Блоха, и попробуем понять, как они взаимодействуют с фильтрами.

Источник .

$$\begin{alignat*}{4} &\vert 0\rangle &&= &&\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \text{linear 90°} \\ &\vert 1\rangle &&= &&\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 0°} \\ &\vert +\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \text{linear 45°} \\ &\vert -\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} &&= \text{linear -45°} \\ &\vert i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} &&= \text{circular clockwise} \\ &\vert -i\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}} &&\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix} &&= \text{circular counter-clockwise} \\ \end{alignat*}$$

Первое, что мы замечаем, это то, что все следующие пары являются основаниями:

• $\vert 0\rangle$а также$\vert 1\rangle$
• $\vert +\rangle$а также$\vert -\rangle$
• $\vert i\rangle$а также$\vert -i\rangle$

Например, мы могли бы представить:

$$\begin{alignat*}{3} &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&+ \vert -\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle &&- \vert -\rangle) \\ &\vert 0\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert i\rangle &&-i \vert -i\rangle) \\ &\vert 1\rangle &&= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle &&+ i\vert -i\rangle) \end{alignat*}$$

И затем, мы также замечаем, что:

• $\vert 0\rangle$а также$\vert 1\rangle$являются собственными векторами$M_0$
• $\vert +\rangle$а также$\vert -\rangle$являются собственными векторами$M_+$
• $\vert i\rangle$а также$\vert -i\rangle$являются собственными векторами$M_i$

Если мы вспомним, что результатом измерения в квантовой механике является собственный вектор собственного значения с вероятностью, пропорциональной проекции, мы получим следующие выборочные вероятности для этих экспериментов:

• $\vert 0\rangle$состояние на:

  • линейный поляризатор 90°: 100% проход

  • линейный поляризатор 0°: проход 0%

  • линейный поляризатор 45°: 45% прохождения, потому что:

    $$\vert 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert +\rangle + \vert -\rangle)$$

  • линейный поляризатор -45°: проход 45%

  • круговые поляризаторы: 45% проходят. Это связано с тем, что линейное состояние 0 можно разложить на две круговые поляризации:

    $$\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(-i\vert i\rangle +i \vert -i\rangle)$$

• $\vert 1\rangle$:
  • линейный 90°: проход 0%
  • линейный 0°: проход 100 %
  • линейный 45°: проход 45%
  • линейный -45°: проход 45%
  • круговой: 45% проходов
• $\vert +\rangle$:
  • линейный 90°: проход 45%
  • линейный 0°: проход 45%
  • линейный 45°: проход 100 %
  • линейный -45°: проход 0%
  • круговые поляризаторы: 45% проходят
• $\vert i\rangle$:
  • линейный 90°: проход 45%
  • линейный 0°: проход 45%
  • линейный 45°: проход 45%
  • линейный -45°: проход 45%
  • круговой по часовой стрелке: 100% проход
  • круговой против часовой стрелки: 0% проход

Относительная фаза

Следует помнить одну важную полуклассическую интуицию:

круговая поляризация == две ортогональные линейные поляризации, сдвинутые по фазе на 90 градусов:

Источник .

Так например в:

$$\vert i\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

у нас есть относительная фаза 90 градусов из-за$i$относительная разность фаз между$\vert 0\rangle$а также$\frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$.

А вот в диагональном они синфазны относительно$\vert 0\rangle$а также$\vert 1\rangle$:

$$\vert +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + \frac{i}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

поэтому относительная фаза равна 0 для этого.

Прогулка по сфере

Один из распространенных способов представить состояние в сфере Блоха состоит в том, чтобы дать только два$\theta$а также$\phi$углы, как показано ниже:

Источник .

Поскольку сфера неевклидова, хороший способ визуализировать ее — пройтись по некоторым простым для понимания путям вокруг нее. На следующем изображении мы делаем два пути:

• начать с 0, пройти через +, 1, - и вернуться обратно к 0
• начать с 0, пройти через i, 1, -i и вернуться обратно к 0

Источник .

Ходьба от + через i, -, -i и обратно к + остается в качестве упражнения: круг станет косым затмением и все больше и больше утончается в линию под углом 45 градусов.

Это приводит к четкой интерпретации углов:

• $\theta$: чем он больше, тем больше вероятность$\vert 1\rangle$становится по сравнению с$\vert 0\rangle$
• $\phi$: относительная фаза между$\vert 0\rangle$а также$\vert 1\rangle$. Эта относительная фаза не может быть обнаружена вертикальным или горизонтальным поляризатором.

Как мы можем перейти от 4 действительных чисел к 2 в состоянии?

На сфере Блоха мы можем представить состояние только двумя действительными параметрами: углами$\theta$а также$\phi$

Но в более явных полных векторах полного состояния оказывается 2 комплексных числа и, следовательно, 4 действительных числа:

$$\begin{alignat*}{4} &\begin{bmatrix}a + ib\\c + id\end{bmatrix} \\ \end{alignat*}$$

Почему одно из чисел должно быть удалено, легко: общая вероятность должна быть равна 1, и поэтому:

$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$$

так что в этот момент мы уже ограничены 3-сферой .

Второй более интересен: мы можем удалить еще один параметр, потому что глобальная фаза состояния не может быть обнаружена никакими экспериментами, и поэтому мы вольны выбирать ее произвольно.

Глобальная фаза$\phi$является комплексным числом. Модуль этого числа должен быть равен 1, чтобы сохранить общую вероятность. Из-за этого естественный способ написать глобальную фазу выглядит так:

&&e^{i\phi}$$

что автоматически удовлетворяет указанному выше свойству, но допускает любое возможное значение.

Эксперименты не могут обнаружить глобальные фазовые сдвиги, потому что результаты измерения:

$$k_0 \vert 0\rangle + k_1 \vert 0\rangle$$

на любом из фильтров такое же, как и при измерении:

$$\text{phase} \times k_0 \vert 0\rangle + \text{phase} \times k_1 \vert 0\rangle$$

потому что$|\text{phase}| = 1$.

Поэтому естественным выбором является выбор глобальной фазы, которая вращает состояние таким образом, чтобы множитель$\vert 0\rangle$становится действительным числом, т.е. установка$b = 0$.

Так, например, умножая на мнимое число, мы могли бы отображать более общие состояния в более узкие, такие как

$$\begin{alignat*}{2} &\begin{bmatrix}i\\0\end{bmatrix} &&\times -i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-i\\0\end{bmatrix} &&\times i &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix} &&\times -1 &&= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} &&= \vert 0\rangle \\ &\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}i\\i\end{bmatrix} &&\times -i &&= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} &&= \vert +\rangle \\ \end{alignat*}$$

Почему матриц Паули ровно три?

Я думаю, что есть глубокие и четкие математические причины, объясняющие это, связанные с тем, что они являются основой пространства эрмитовой матрицы 2x2, как указано по адресу: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 и https://en. .wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states, и это суть вопроса о том, почему используется сфера Блоха, но я не полностью понял это.

Но с более практической точки зрения: три описанных нами измерительных устройства — это единственные три возможности (вплоть до глобальных вращений), когда вы проходите через одно, вы теряете всю информацию о двух других (вероятность 50% для двух других экспериментов).

Следовательно, они ортогональны в определенном смысле и максимальны, поскольку нет другого эксперимента, который мы могли бы добавить к этому набору экспериментов, для которого выполняется это свойство.

Играй с причудой

https://algassert.com/quirk

Это еще одно стоящее предложение. Щелкайте по этим изображениям, пока все не обретет смысл.

Другие физические системы

Практически каждый тип квантового компьютера представляет собой физический пример того, как физические объекты выглядят на сфере Блоха. Было бы хорошо разобраться в различных типах более подробно.

Большинство из них имеют состояние 0 на уровне с наименьшей энергией, 1 на первом энергетическом уровне, а все, что находится на экваторе, является суперпозицией. TODO физическая интерпретация/управление фазой.