Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Question

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Лахи

Вещи, в которых я уверен, я понимаю: скажем, у меня есть одночастичный гамильтониан $H$ представленный $2$ Икс $2$ матрица, поэтому она имеет два собственных состояния $|\lambda_1\rangle$ и $|\lambda_2\rangle$ . Я могу определить два проектора на эти состояния $P_1=|\lambda_1\rangle\langle\lambda_1|$ и $P_2=|\lambda_2\rangle\langle\lambda_2|$ . Теперь, если мы посмотрим на систему из двух частиц, гамильтониан частицы 1 в пространстве прямого произведения равен $H_1=H\otimes I$ а гамильтониан частицы 2 равен $H_2=I\otimes H$ . Если я правильно понимаю, новое пространство охватывает, например, следующие 4 состояния: $|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , для $i,j=1,2$ . $H_1$ будет иметь 4 собственных вектора, которые соответствуют собственным состояниям энергии $H_1|n\rangle=E_n|n\rangle$ частицы 1 в двухчастичной системе. Затем я могу сконструировать 4 проектора на эти состояния, которые определены так же, как и выше, и я назову их $P'_n$ для $n=1,2,3,4$ .

Вопрос: я хочу показать, что для произвольного состояния в двухчастичном векторном пространстве $P'_nf(E_n)|\psi\rangle=P'_nf(H_1)|\psi\rangle$ где $f(E_n)$ есть некоторая функция собственных значений гамильтониана и $|\psi\rangle$ . Я знаю, как это сделать для одночастичной системы, но у меня пока нет интуиции для прямых произведений, и я не могу понять, как согласовать тот факт, что $H$ имеет 2 состояния, но $H_1$ имеет 4 в попытке выразить $P'_n$ с точки зрения $P_1$ и $P_2$ . Я могу расширить с точки зрения двухчастичного базиса $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ . Затем примените проектор $|n\rangle\langle n|$ но на данный момент у меня нет идей. Есть ли способ записать собственные функции $H_1$ в терминах собственных функций $H$ ?

Селена Рутли

просто быстрый момент:

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{i} b_{j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ не является произвольным состоянием, а является частным случаем факторизуемого или незапутанного состояния . Коэффициенты здесь представляют собой произведение Кронекера векторов-столбцов

c

$c$ и

b

$b$ и полностью определяется

2 N

$2 N$ комплексные значения в вектор-столбце. Общее запутанное состояние имеет

| ψ ⟩ = \sum_{i, j} C_{i j} | λ_{i} ⟩ \otimes | λ_{j} ⟩

$|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , т.е. вы не можете разделить

N^{2}

$N^2$ независимые коэффициенты во что-то вида

b \otimes c

$b\otimes c$ .

Лахи

Спасибо, что указали на это, я раньше не изучал запутанность, так что приятно видеть, что она означает в своей математической славе.

пользователь10851

Это распространенная ошибка в терминологии: прямое произведение

\times

$\times$ больше похоже на прямую сумму

\oplus

$\oplus$ ; то, что у вас есть, это тензорное произведение

\otimes

$\otimes$ . Одно важное отличие состоит в том, что

\dim (A \oplus B) = \dim (A) + \dim (B)

$\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , пока

\dim (A \otimes B) = \dim (A) \dim (B)

$\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . К сожалению

2 + 2 = 2 \cdot 2

$2+2=2\cdot2$ , так проще запутаться в данном конкретном случае.

Лахи

Итак, с чем я на самом деле имею здесь дело: с «пространством тензорных произведений» или с «пространством прямых сумм»? Я предполагаю, что это пространство тензорного произведения, поскольку

H = H_{1} \otimes H_{2}

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ и в этом случае имеет смысл подумать о

dim (H) = dim (H_{1}) dim (H_{2})

$\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (из аналогии со спином 1/2 с двумя частицами, где мы думаем о 4 результирующих состояниях как об упорядоченных парах спинов вверх и вниз). Но прямая сумма появляется, когда мы думаем о «полном» гамильтониане

H = H_{1} \oplus H_{2}

$H=H_1\oplus H_2$ , поэтому я хотел бы быть уверенным.

Ответы (1)

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

просто быстрый момент: $|\psi\rangle=\sum_{i,j}c_ib_j|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ не является произвольным состоянием, а является частным случаем факторизуемого или незапутанного состояния . Коэффициенты здесь представляют собой произведение Кронекера векторов-столбцов $c$ и $b$ и полностью определяется $2 N$ комплексные значения в вектор-столбце. Общее запутанное состояние имеет $|\psi\rangle=\sum_{i,j}C_{i\,j}|\lambda_i\rangle\otimes|\lambda_j\rangle$ , т.е. вы не можете разделить $N^2$ независимые коэффициенты во что-то вида $b\otimes c$ .
Спасибо, что указали на это, я раньше не изучал запутанность, так что приятно видеть, что она означает в своей математической славе.
Это распространенная ошибка в терминологии: прямое произведение $\times$ больше похоже на прямую сумму $\oplus$ ; то, что у вас есть, это тензорное произведение $\otimes$ . Одно важное отличие состоит в том, что $\dim(A\oplus B)=\dim(A)+\dim(B)$ , пока $\dim(A\otimes B)=\dim(A)\dim(B)$ . К сожалению $2+2=2\cdot2$ , так проще запутаться в данном конкретном случае.
Итак, с чем я на самом деле имею здесь дело: с «пространством тензорных произведений» или с «пространством прямых сумм»? Я предполагаю, что это пространство тензорного произведения, поскольку $\mathcal{H}=\mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$ и в этом случае имеет смысл подумать о $\text{dim}(\mathcal{H})=\text{dim}(\mathcal{H}_1)\text{dim}(\mathcal{H}_2)$ (из аналогии со спином 1/2 с двумя частицами, где мы думаем о 4 результирующих состояниях как об упорядоченных парах спинов вверх и вниз). Но прямая сумма появляется, когда мы думаем о «полном» гамильтониане $H=H_1\oplus H_2$ , поэтому я хотел бы быть уверенным.

юггиб · Answer 1

Это довольно просто. Рассмотрим оператор $H$ на гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ , в вашем простом примере он имеет спектральное разрешение:

ЧАС "=" \sum_{н} Е_{н} | н ⟩ ⟨ н | .

$H=\sum_{n}E_n \lvert n\rangle\langle n \rvert\; .$ Каждое собственное значение имеет кратность 1. Теперь операторы

H_{1}

$H_1$ и

H_{2}

$H_2$ на

H \otimes H

$\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}$ имеют одинаковый спектр

H

$H$ , но каждое собственное значение имеет кратность

d i m [H]

$\mathrm{dim} [\mathscr{H}]$ , а ортонормированные собственные векторы будут тензорным произведением собственного вектора

H

$H$ и вектор ортонормированного базиса

H

$\mathscr{H}$ (в соответствующем порядке). Спектральные разрешения напрямую наследуются одним из

H

$H$ :

{ЧАС}_{1} "=" \sum_{н} Е_{н} (| н ⟩ ⟨ н | \otimes 1), {ЧАС}_{2} "=" \sum_{н} Е_{н} (1 \otimes | н ⟩ ⟨ н |) .

$H_1=\sum_{n}E_n \bigl(\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \otimes 1\bigr)\;,\; H_2=\sum_{n}E_n \bigl(1\otimes\lvert n\rangle\langle n \rvert\ \bigr)\; .$ Примените теперь проекцию на факторизованный вектор

ψ_{1} \otimes ψ_{2}

$\psi_1\otimes\psi_2$ например на

H_{1}

$H_1$ :

| ψ_{1} \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{1} \otimes ψ_{2} | {ЧАС}_{1} "=" \sum_{н} Е_{н} ⟨ ψ_{1}, н ⟩ (| ψ_{1} ⟩ ⟨ н | \otimes | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |) .

$\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert H_1= \sum_n E_n \langle \psi_1,n\rangle \bigl( \lvert\psi_1\rangle\langle n\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert \bigr)\; .$ Теперь предположим, что

ψ_{1} = m

$\psi_1=m$ , где

m

$m$ является собственным вектором

H

$H$ , ортогональный всем остальным (и нормализованный). Тогда скалярные произведения в сумме обращаются в нуль, кроме

n = m

$n=m$ . Таким образом вы получаете:

\begin{matrix} (1) & | м \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ м \otimes ψ_{2} | {ЧАС}_{1} "=" Е_{м} | м \otimes ψ_{2} ⟩ ⟨ м \otimes ψ_{2} | . \end{matrix}

$\tag{1}\lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert H_1=E_m \lvert m\otimes\psi_2\rangle\langle m\otimes\psi_2 \rvert \; .$

Примечание . Обратите внимание, что я неоднократно использовал тот факт, что для факторизованных векторов $\lvert \psi_1\otimes\psi_2\rangle\langle \psi_1\otimes\psi_2 \rvert= \lvert\psi_1\rangle\langle \psi_1\rvert\otimes\lvert\psi_2\rangle\langle\psi_2\rvert$ .

Уравнение (1) --- с $\psi_2$ выбран как элемент ортонормированного базиса $\mathscr{H}$ ---является отношением проекторов на собственные векторы $H_1$ ты ищешь. Это распространяется на функции $H_1$ так как для любой подходящей регулярной функции $f$ , $f(H)=\sum_{n}f(E_n) \lvert n\rangle\langle n \rvert$ .

Я очень ценю этот ответ, спасибо. Он точно и очень четко отвечает на мой вопрос, с хорошим обоснованием каждого шага.

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Лахи

Селена Рутли

Лахи

пользователь10851

Лахи

Ответы (1)

юггиб

Лахи

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Почему квантовые логические вентили должны быть линейными операторами?

Путаница в интерпретации значений ожидания в квантовой механике

Спектральная теорема: матрицы против операторов

Почему замена базисных векторов bra и ket представлениями строк и столбцов дает неправильное матричное представление в неортогональном базисе?

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

Понимание матрицы плотности для чистых состояний по сравнению со смешанными состояниями

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Состав операторов сжатия?