Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Question

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Г. Адамс

Я, вероятно, просто застрял на чем-то очень простом, но у меня возникли проблемы с пониманием предпосылки упражнения 10.40 в Nielsen & Chuang. Полная информация об упражнении не важна для моего вопроса. Соответствующая часть такова:

Предполагать $U$ является $n+1$ кубитные ворота в $N(G_{n+1})$ такой, что $U Z_1 U^\dagger = X_1 \otimes g$ и $U X_1 U^\dagger = Z_1 \otimes g^\prime$ для некоторых $g, g^\prime \in G_n$ . [Здесь, $G_n$ это группа Паули на $n$ кубиты и $N(G_n)$ является нормализатором этой группы.] Определить $U^\prime$ на $n$ кубиты по $U^\prime |\psi\rangle := \sqrt{2}\langle 0 | U(| 0 \rangle \otimes | \psi \rangle )$ .

Теперь, предположительно, это $U^\prime$ оператор унитарный, но я не могу понять, почему это обязательно верно.

Эмилио Писанти

Добро пожаловать на сайт! На мой взгляд, это хороший вопрос, но вам все равно следует прочитать наши рекомендации по вопросам, возникающим из комплексов упражнений . Кроме того, некоторый дополнительный контекст (почему полезно иметь

U

$U$ с такими свойствами?) не помешало бы.

Ответы (1)

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Добро пожаловать на сайт! На мой взгляд, это хороший вопрос, но вам все равно следует прочитать наши рекомендации по вопросам, возникающим из комплексов упражнений . Кроме того, некоторый дополнительный контекст (почему полезно иметь $U$ с такими свойствами?) не помешало бы.

удрв · Answer 1

Писать

U "=" \frac{1}{2} (я_{1} + Z_{1}) \otimes U_{00}^{'} + \frac{1}{2} (я_{1} - Z_{1}) \otimes U_{11}^{'} + \frac{1}{2} ({Икс}_{1} + я Д_{1}) \otimes U_{01}^{'} + \frac{1}{2} ({Икс}_{1} - я Д_{1}) \otimes U_{10}^{'} "=" (\begin{array}{cc} U_{00}^{'} & U_{01}^{'} \\ U_{10}^{'} & U_{11}^{'} \end{array})

$U = \frac{1}{2}(I_1 + Z_1) \otimes U'_{00} + \frac{1}{2}(I_1 - Z_1) \otimes U'_{11} + \frac{1}{2}(X_1 + iY_1) \otimes U'_{01} + \frac{1}{2}(X_1 - iY_1) \otimes U'_{10} = \left(\begin{array}{cc} U'_{00} &U'_{01} \\U'_{10}& U'_{11}\end{array}\right)$ где

U_{i j}^{'} \in G_{n}

$U'_{ij} \in G_n$ . С точки зрения последнего,

U^{'} | Ψ ⟩ "=" \sqrt{2} ⟨ 0 | U | 0 \otimes Ψ ⟩ "=" (\sqrt{2} U_{00}^{'}) | Ψ ⟩

$U' |\Psi\rangle = \sqrt{2} \;\langle 0 | U | 0\otimes \Psi \rangle = (\sqrt{2}\; U'_{00})|\Psi\rangle$ в то время как унитарность

U

$U$ дает

U_{00}^{'} (U_{00}^{'})^{†} + U_{01}^{'} (U_{01}^{'})^{†} "=" U_{11}^{'} (U_{11}^{'})^{†} + U_{10}^{'} (U_{10}^{'})^{†} "=" я_{н}

$U'_{00} (U'_{00})^\dagger + U'_{01} (U'_{01})^\dagger = U'_{11} (U'_{11})^\dagger + U'_{10} (U'_{10})^\dagger = I_n$ и еще одно условие. Перевести условие

U Z_{1} U^{†} = X_{1} \otimes g

$UZ_1U^\dagger = X_1\otimes g$ в аналогичные отношения для

U_{i j}^{'}

$U'_{ij}$ -s и получить это

U_{00}^{'} (U_{00}^{'})^{†} "=" U_{01}^{'} (U_{01}^{'})^{†} "=" U_{10}^{'} (U_{10}^{'})^{†} "=" U_{11}^{'} (U_{11}^{'})^{†} "=" \frac{1}{2} я_{н}

$U'_{00} (U'_{00})^\dagger = U'_{01} (U'_{01})^\dagger = U'_{10} (U'_{10})^\dagger = U'_{11} (U'_{11})^\dagger = \frac{1}{2} I_n$ и так далее.

Проблемы с пониманием упражнения Нильсена и Чуанга

Г. Адамс

Эмилио Писанти

Ответы (1)

удрв

Как найти оператор проектирования на собственное пространство, если собственный вектор неизвестен?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩⟨ψ|A^|ψ⟩=⟨ψ|B^|ψ⟩\langle\psi|\шляпа{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle для всех |ψ⟩|ψ⟩|\psi\rangle означает, что A^=B^A^=B^\hat{A} = \hat{ Б}?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Коммутатор положения и импульса

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Операторы проекции в пространстве прямого произведения

Сопряжение сопряженного оператора

Позиционирование оператора в импульсном пространстве

Есть ли простой способ найти собственные состояния оператора рождения и уничтожения в QM?