Полная положительность: почему условие достаточно для квантовых карт?

Question

Полная положительность: почему условие достаточно для квантовых карт?

Физика
гильбертово пространство
оператор плотности
квантовая механика
квантовая информация
открытые квантовые системы

СтарБак

Я знаю, что когда мы определяем квантовые карты, нам нужно, чтобы карта была полностью положительной, чтобы гарантировать, что если наша система $A$ запутался с какой-то дополнительной системой $B$ , эволюция на $H_A \otimes H_B$ тоже будет положительным (не только эволюция на $H_A$ ).

Для этого говорят, что карта должна быть вполне положительной.

Но почему этого условия достаточно . Мол, почему полная позитивность гарантирует мне, что я никогда не найду не позитивную глобальную трансформацию на $H_A \otimes H_B$ ?

[Редактировать]

Мое определение полной позитивности:

\forall | ф^{А Б} ⟩ е {ЧАС}_{А} \otimes {ЧАС}_{Б} : ⟨ ф^{А Б} | л_{А} \otimes 1 (р_{А Б}) | ф^{А Б} ⟩ \geq 0

$\forall |\phi^{AB}\rangle \in H_A \otimes H_B : \langle \phi^{AB} | \mathcal{L}_A \otimes 1 (\rho_{AB}) | \phi^{AB} \rangle \geq 0$ где

L_{A}

$\mathcal{L}_A$ является оператором, который я хочу полностью положительным.

Таким образом, предполагается, что оператор, действующий на $\rho_{AB}$ имеет вид $\mathcal{L}_A \otimes 1$ что для меня не очевидно.

[править 2] на самом деле мой вопрос очень тесно связан с другим, который я задал здесь Квантовая карта и сохранение трассировки

Но этот вопрос физически более общий. Кроме того, это позволило бы сначала проверить правильность моих предположений в этом другом посте, а также данный ответ, с моей точки зрения, немного сложен.

По-видимому, мотивация доказательства исходит из классической теории вероятностей, которую я недостаточно освоил, чтобы действительно понять, как идеи пришли в предложенное доказательство.

Таким образом, я хотел бы другой способ ответа на проблему, если она существует.

Эмилио Писанти

Полная положительность определяется как свойство, при котором вы никогда не найдете неположительное глобальное преобразование.

H_{A} \otimes H_{B}

$H_A \otimes H_B$ . Вы имели в виду какое-то другое определение? Если да, то?

СтарБак

@Emilio Pisanty я отредактировал

Питер Шор

Что

ϕ^{A B}

$\phi^{AB}$ ? Вы никогда не определяете это, поэтому я не знаю, интересно ли вам, почему вы можете предположить

ϕ^{A B}

$\phi^{AB}$ это максимально запутанное состояние, или у вас есть другой вопрос, который я не совсем понимаю.

СтарБак

@PeterShor, который я редактировал: это любой вектор, принадлежащий

H_{A} \otimes H_{B}

$H_A \otimes H_B$ .

Ответы (3)

Полная положительность: почему условие достаточно для квантовых карт?

Полная положительность определяется как свойство, при котором вы никогда не найдете неположительное глобальное преобразование. $H_A \otimes H_B$ . Вы имели в виду какое-то другое определение? Если да, то?
Что $\phi^{AB}$ ? Вы никогда не определяете это, поэтому я не знаю, интересно ли вам, почему вы можете предположить $\phi^{AB}$ это максимально запутанное состояние, или у вас есть другой вопрос, который я не совсем понимаю.
@PeterShor, который я редактировал: это любой вектор, принадлежащий $H_A \otimes H_B$ .

Нуаралеф · Answer 1

Позвольте мне начать с вопроса: как вы думаете, каким должно быть определение полной позитивности? Вы хотите, чтобы он «гарантировал, что я никогда не найду неположительную глобальную трансформацию», но это невозможно в такой общности. Я пытаюсь сказать здесь следующее: если предполагается, что полная позитивность является условием $\mathcal L_A$ , затем $\mathcal L_A$ должно быть указано в определении.

На самом деле мы хотим, чтобы карты вида $\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$ положительно, для произвольного $H_B$ и $\mathcal L_B$ . Мы рассматриваем только глобальные преобразования, являющиеся произведением двух отображений $\mathcal L_A$ и $\mathcal L_B$ которые действуют на свои индивидуальные гильбертовы пространства и не трогают другое пространство.

Теперь обратите внимание, что

л_{А} \otimes л_{Б} "=" (л_{А} \otimes 1_{Б}) (1_{А} \otimes л_{Б})

$\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B = (\mathcal L_A \otimes 1_B) (1_A \otimes \mathcal L_B)$ и должно стать ясно, почему полная положительность определяется именно так.

Определение гарантирует, что если $\mathcal L_A$ и $\mathcal L_B$ также полностью положительны $\mathcal L_A \otimes \mathcal L_B$ является полностью положительным. Поначалу кажется удивительным, что то же самое свойство не сохраняется, если мы заменяем «полностью положительное» на «положительное», и я рекомендую вам привести контрпример к этому.

Изменить в ответ на комментарии.

Да, мы могли бы дать другие определения, но это не то, что подразумевается под «полностью положительным».
Полная положительность обычно возникает в контексте карт CPTP. Карты CPTP — это ответ на вопрос:
есть ли у меня доступ к подсистеме $H_A$ только, и я изучаю его временную эволюцию: каков абсолютный минимум свойств, в которых я могу быть уверен, что временная эволюция будет иметь?
Ответ заключается в том, что оператор эволюции должен быть (выпуклым) линейным и отображать матрицу плотности в матрицу плотности, а положительность результирующей матрицы плотности не должна зависеть от того, что происходит в других несвязанных экспериментах. И это соответствует определению полной позитивности.
До сих пор мы не говорили о запутанности двух систем или вообще о чем-либо. Это приходит через теорему Стайнспринга , которая говорит нам: карта является CPTP тогда и только тогда, когда она может быть записана в форме $р \mapsto {тр}_{Б} {U (р \otimes р_{Б}) U^{†}} .$ $\rho \mapsto \operatorname{tr}_B \{ U (\rho \otimes \rho_B) U^\dagger \} .$ Здесь, $U$ является унитарной временной эволюцией на полной системе.
Итак, какие именно условия вы хотите для карты $\mathcal L_A$ быть, скажем так, «StarBucK-позитивным»? Некоторые варианты:

$\mathcal L_A$ является StarBucK-положительным тогда и только тогда: для всех гильбертовых пространств $H_B$ и все (все положительные ?) (все StarBuck-положительные ?) (все унитарные ?) временные эволюции $\mathcal L$ на $H_A \otimes H_B$ так что $\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$ (и так, что $\operatorname{tr}_A \circ \mathcal L$ также является StarBucK-положительным?) ... какое условие выполняется ?

Еще одно редактирование, я хочу прояснить одну вещь: если $\mathcal L_A$ является CP, что не гарантирует, что каждый $\mathcal L$ с $\operatorname{tr}_B \circ \mathcal L = \mathcal L_A$ положительный. Такая гарантия невозможна, поскольку $\mathcal L_A$ не содержит всей информации о $\mathcal L$ .

Я не понимаю, что вы предполагаете, что глобальная трансформация $\mathcal{L}_A \otimes \mathcal{L}_B$ что является большим предположением. Мы могли бы представить, что матрица плотности следует $\rho_A \rightarrow \mathcal{L}_A(\rho_A)$ и $\rho_B \rightarrow \mathcal{L}_B(\rho_B)$ но глобальная трансформация не $\mathcal{L}_A \otimes \mathcal{L}_B(\rho_{AB})$ . Так что в целом преобразование будет некоторым $\mathcal{L}$ действующий на $\rho_{AB}$ но проверка $Tr_A(\mathcal{L}(\rho_{AB}))=\mathcal{L}_B(\rho_B)$ и $Tr_B(\mathcal{L}(\rho_{AB}))=\mathcal{L}_A(\rho_A)$ .
Таким образом, мы имеем $\mathcal{L}_A$ и $\mathcal{L}_B$ которые появляются в определении (так что это будет самая общая эволюция для $\rho_{AB}$ , таким образом $\mathcal{L}$ это количество, которое мы должны ограничить положительностью.) Но, возможно, я недостаточно понял, что вы хотели сказать
На самом деле с вашим самым последним редактированием вы как раз в том месте, которое меня смущает . Чего я не понял, так это того, что условия CPTP недостаточно , чтобы гарантировать, что $\mathcal{L}$ будет положительным, даже если $B$ не развивается , он просто имеет дело с некоторыми очень конкретными эволюциями $\mathcal{L}$ . Таким образом, условие CPTP является необходимым , но недостаточным для обеспечения того, чтобы $\mathcal{\rho_{AB}}$ все равно будет положительным, не так ли?
Жаль, что я написал так много других вещей, прежде чем понял, в чем была ваша проблема ^^ Вы правы: просто зная $\mathcal L_A$ не говорит вам, как $\rho_{AB}$ развивается, и он может потерять позитивность. В физических ситуациях мы обычно предполагаем, что $\rho_{AB}$ развивается унитарно — тогда он, конечно, всегда будет оставаться положительным.
Нет проблем, я знаю, что могу запутаться, когда пишу! Итак, глобальный дух вкратце: мы не знаем, как $\mathcal{L}$ будет знать только $\mathcal{L}_A$ , но мы знаем, что в некоторых очень частных случаях мы будем иметь: $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A \otimes 1$ . Поэтому мы используем этот случай для ограничения $\mathcal{L}_A$ . Наше результирующее выражение $\mathcal{L}_A$ мог бы сделать $\rho_{AB}$ терять позитивность в некоторых других случаях (например, если B или весь AB развиваются очень специфическим образом), но зная только $\mathcal{L}_A$ это максимальное ограничение, которое мы можем на него наложить.

Эмилио Писанти · Answer 2

Мое определение полной позитивности:
$⟨ ф^{А Б} | л_{А} \otimes 1 (р_{А Б}) | ф^{А Б} ⟩ \geq 0$ $\langle \phi^{AB} | \mathcal{L}_A \otimes 1 (\rho_{AB}) | \phi^{AB} \rangle \geq 0$ где $\mathcal{L}_A$ это оператор, который я хочу полностью положительный.

Это действительно определение полностью положительной карты, и оно определено таким образом, чтобы гарантировать, что эволюция, вызванная $\mathcal{L}_A$ является физическим, даже если система оказывается частью большей системы в запутанном состоянии.

Причина, по которой мы ограничиваем рассматриваемый оператор эволюции формой $\mathcal{L}_A \otimes 1$ вместо $\mathcal{L}_A \otimes \mathcal{L}_B$ или даже $\mathcal{L}_{AB}$ потому что мы хотим, чтобы полная позитивность была утверждением, касающимся исключительно $\mathcal{L}_A$ а не что-то другое. По этому критерию $\mathcal{L}_A$ фиксировано: это то, что есть, и на него действует то же действие, что и на $\mathscr H_A$ , и нам все равно, откуда он взялся или что еще действует в любых других частях системы.

В частности, это означает, что если способ, которым вы генерируете $\mathcal{L}_A$ что у вас есть какая-то вспомогательная система $\mathscr H_{A'}$ а у тебя канал покрупнее $\mathcal L_{AA'}$ действующий на $\mathscr H_A\otimes \mathscr H_{A'}$ , который затем частично прослеживается до $\mathcal L_A = \mathrm{tr}_{A'}(\mathcal L_{AA'})$ , то в силу полной положительности $\mathcal L_A$ как работает квантовый канал, нас не волнует , как он был создан. Мы заботимся о том, чтобы это был функциональный квантовый канал, представляющий физическую эволюцию на $\mathscr H_A$ даже если есть другие системы (не вспомогательные), которые связаны с интересующей системой.

Вот почему критерий написан так, как вы написали: вокруг могут быть другие тензорные факторы, но рассматриваемое физическое преобразование $\mathcal L_A$ и $\mathcal L_A$ только (вот почему у вас есть $\otimes 1_B$ отставая от него). Все остальное предназначено только для того, чтобы гарантировать, что преобразование является физическим в самых общих возможных условиях, которые $\mathcal L_A$ , как единое целое, может столкнуться с самим собой.

Если я тебя понимаю: нам все равно, как $\mathcal{L}_A$ было произведено: это могло быть сделано с помощью чего-то совсем другого, чем $\mathcal{L}_A \otimes 1$ . Но это также могло быть сделано через это преобразование. Поэтому он должен, по крайней мере, проверить тот факт, что $\mathcal{L}_A$ сохранить позитив: это необходимое условие.
И здесь, ваш второй пункт заключается в том, что $\mathcal{L}_A \otimes 1$ частный случай эволюции, который зависит только от $\mathcal{L}_A$ , и я полностью согласен. Но вот чего я не понимаю: откуда мы знаем, что это единственная (единственная конкретная эволюция, которая зависит только от $\mathcal{L}_A$ ) ? Может быть, нам все равно, в конце концов, потому что нам просто нужны необходимые условия, но я хотел бы проверить это. (Я переписал свои комментарии, чтобы попытаться сделать мой вопрос более ясным)

Питер Шор · Answer 3

Кажется, тут куча вопросов. Я отвечаю на некоторые вопросы, которые, как мне кажется, вы задаете, но я не уверен, действительно ли я отвечаю на ваши вопросы — я действительно понимаю только один из ваших вопросов.

(1) Почему оператор, действующий на $\rho_{AB}$ иметь вид ${\cal L}\otimes I$ ?

Обычно мы предполагаем, что нам дана карта, которая действует только на систему. $A$ .

Теперь, если мы применим ${\cal L}$ к $A$ , и мы ничего не делаем для $B$ , то комбинированный оператор ${\cal L}\otimes I$ .

Краткая интуиция для этого: если применить какой-либо оператор только к системе $A$ оказывает некоторый эффект неидентичности на вторую систему $B$ это не коррелировало с $A$ , это было бы очень странно. И тогда линейность квантовой механики подразумевает, что комбинированный оператор ${\cal L}\otimes I$ .

(2) Может быть, ваш реальный вопрос: предположим, у вас есть квантовая карта ${\cal L}$ который действует на несколько систем. Откуда ты это знаешь, когда просто смотришь на $A$ , эта квантовая карта полностью положительна?

Предположим, есть некоторая система $C$ , где-то во Вселенной (может быть, на Альфе Центавра), что ${\cal L}$ действует как тождество. Затем ${\cal L} \otimes I$ это карта, которая действует на $A \otimes C$ , и рассуждения выше показывают, что ${\cal L}$ является полностью положительным. Я предполагаю, что это касается вашего вопроса о практических реальных квантовых картах.

(3) Если у вас очень, очень маленькая Вселенная — скажем, ваше гильбертово пространство $A$ это подпространство вселенной $U$ с

тусклый U < (тусклый А)^{2}

$\dim U < (\dim A)^2$ — тогда я полагаю, что вполне возможно, что

L

${\cal L}$ не является полностью положительным.

Ваш ответ на самом деле связан с этим физиком . более простой способ увидеть это, потому что, даже если я могу следовать строчке за строчкой, я не могу сказать, что понимаю доказательство в целом. И поскольку я не уверен, что полностью понимаю все детали этого доказательства, я не уверен, что могу принять его на данный момент.
Но даже, на самом деле, точка зрения, которую вы предлагаете, отличается от двух других ответов. В этих авторы считают, что нам все равно, что происходит в $H_B$ (он может развиваться через $\mathcal{L}_B$ ), но мы просто хотим ограничить $\mathcal{L}_A$ рассматривая только отдельные $\mathcal{L}_A \otimes 1$ и ограничение $\mathcal{L}_A$ с теми. Что дало бы необходимое условие на $\mathcal{L}_A$ . И вопросы, которые я задал в комментарии, заключаются в том, является ли произвольным выбором ограничиваться только ими или есть более глубокая причина.
Я думаю, что моя точка зрения вполне согласуется с точкой зрения Эмилио Писанти. Я предполагаю, что карта действует только на $A$ , и ничего не делает с любой квантовой системой, которая не запутана с $A$ . Он говорит, давайте рассмотрим карту и будем беспокоиться только о ее влиянии на $A$ . Тогда давайте расширим его до ${\cal L}\otimes I$ .

Полная положительность: почему условие достаточно для квантовых карт?

СтарБак

Эмилио Писанти

СтарБак

Питер Шор

СтарБак

Ответы (3)

Нуаралеф

СтарБак

СтарБак

Нуаралеф

СтарБак

Нуаралеф

СтарБак

Эмилио Писанти

СтарБак

СтарБак

Питер Шор

СтарБак

СтарБак

Питер Шор

Квантовая запутанность неразличимых частиц

Чем квантовая суперпозиция отличается от смешанного состояния?

Классы эквивалентности в гильбертовом пространстве

Объяснение того, почему этот вывод разложения Шмидта работает

Попытка понять смешанные состояния

Означает ли эта цитата из моего учебника, что не все состояния являются суперпозициями?

Как происходит отслеживание физической операции?

Переводит ли унитарный оператор чистое состояние в чистое состояние или может переводить чистое состояние в смешанное состояние? [закрыто]

Откуда мы знаем, что если эволюционирует только ρAρA\rho_A, то эволюция ρABρAB\rho_{AB} задается выражением (LA⊗1)(ρAB)(LA⊗1)(ρAB)(\mathcal{L}_A \ otimes 1)(\rho_{AB})?

Означает ли корреляция результатов измерения, что состояние запутано?