Итак, если на объект, находящийся на столе, действует только нормальная сила реакции (поскольку гравитация не является силой), то как результирующая сила, действующая на него, равна нулю?

Я процитировал то, что я считаю ключевой частью вашего вопроса, и это ключевое, потому что чистая сила не равна нулю. Объект на столе испытывает результирующую силу$mg$и в результате он испытывает восходящее ускорение$g$.

Способ, которым вы можете определить, не действует ли на вас сила, заключается в том, невесомы вы или нет. Если бы вы парили в космосе вдали от любых других объектов, то на вас не действовали бы никакие силы, и вы были бы невесомы. Если бы мы прикрепили к вам ракету и включили ее, то вы уже не были бы невесомы, потому что теперь ракета оказывает на вас силу. Технически у вас есть ненулевое собственное ускорение .

В ОТО ваше ускорение (ваше четырехкратное ускорение ) состоит из двух компонентов. Пишем так:

Первый срок$\mathrm du^\mu/\mathrm d\tau$это скорость изменения вашей (координатной) скорости со временем, так что это то, что Ньютон имел в виду под ускорением, а второй член — ускорение свободного падения. Ключевым моментом в общей теории относительности является то, что мы не делаем различий между ними — они оба способствуют вашему ускорению.

Если вы падаете свободно, то два условия равны и противоположны, поэтому они сокращаются, и вы остаетесь с нулевым ускорением:

Это когда чистая сила на вас равна нулю. Для объекта на столе бит координаты ускорения равен нулю, а второй член - нет, и ускорение равно:

Таким образом, объект, лежащий на столе, имеет ненулевое ускорение, и результирующая сила, действующая на него, не равна нулю.

Может быть, это звучит так, будто я немного играю словами, определяя, что я делаю и не имею в виду под ускорением . Но это абсолютно ключ к пониманию того, как общая теория относительности описывает движение тел. Ключевым моментом является то, что гравитационное и координатное ускорение рассматриваются в равной степени, и если вы неподвижны в гравитационном поле, это означает, что вы ускоряетесь.

Если вы заинтересованы в дальнейшем изучении этого вопроса, более подробное описание можно найти в разделе Как можно ускориться, не двигаясь? . Подробнее о том, почему искривление пространства-времени заставляет вас ускоряться, см. в статье Как «искривленное пространство» объясняет гравитационное притяжение?

Сноска

Учитывая внимание, которое получил этот ответ, я думаю, что стоит уточнить, как именно релятивисты рассматривают эту ситуацию.

В вопросе приводится пример объекта, неподвижно сидящего на столе, но давайте начнем с объекта, находящегося в нескольких метрах над столом и свободно падающего на него.

Кажется очевидным, что яблоко с ускорением движется вниз к столу. Это кажется очевидным, потому что мы привыкли считать поверхность Земли неподвижной, потому что это наша система покоя (хотя поверхность Земли, безусловно, не находится в состоянии покоя :-).

Но если бы вы были яблоком, то было бы естественно считать вашу систему покоя неподвижной, и в этом случае яблоко не движется вниз с ускорением — стол ускоряется вверх, чтобы встретить его.

Так какая точка зрения верна? Ответ состоит в том, что оба варианта верны. Стационарное яблоко или стол — это всего лишь выбор системы отсчета, т. е. выбор координат, и это фундаментальный принцип общей теории относительности, что все координаты одинаково хороши, когда дело доходит до описания физики.

Но если мы можем случайным образом выбирать наши координаты, кажется, трудно сказать что-то конкретное. Мы могли бы выбрать кадры, ускоряющиеся с любой скоростью, или вращающиеся, или расширяющиеся, или все виды причудливых кадров. Можем ли мы сказать что-то конкретное о ситуации? Ну есть.

В теории относительности есть величины, называемые инвариантами , которые не зависят от используемых координат. Например, скорость света является инвариантом: все наблюдатели, измеряющие скорость света, обнаруживают, что она имеет одно и то же значение$c$. А в нашем примере с яблоком и столом есть важный инвариант, называемый собственным ускорением. Хотя яблоко и стол расходятся во мнениях относительно того, какое из них ускоряется по отношению к другому, если они вычисляют соответствующие собственные ускорения, они оба согласятся, каковы эти значения.

В ньютоновской механике ускорение есть вектор$(a_x, a_y, a_z)$, но в теории относительности пространство-время четырехмерно, поэтому векторы имеют четыре компонента. Четырехкратное ускорение — это релятивистский эквивалент трехмерного ньютоновского ускорения, к которому мы все привыкли. Хотя это немного сложнее, четырехмерное ускорение — это просто вектор в четырехмерном пространстве-времени, и, как и все векторы, оно имеет величину — в теории относительности мы называем эту величину нормой . А нормой четырехразгона является как раз правильное ускорение, о котором я говорю выше.

Правильное ускорение может быть сложно рассчитать. Есть хорошее объяснение того, как вычислить его для объекта, подобного нашей таблице, в разделе Что такое уравнение веса в общей теории относительности? Получается, что правильное ускорение стола равно:

куда$M$это масса Земли и$r$это радиус Земли.

Но подождите — это говорит мне, что правильное ускорение стола не равно нулю. Но... но... разве стол не стоит? Что ж, это возвращает нас к тому, с чего мы начали. Стол и яблоко расходятся во мнениях относительно того, кто ускоряется, но они оба согласны с тем, что стол имеет ненулевое собственное ускорение. И на самом деле, если мы вычислим собственное ускорение яблока, оно окажется равным нулю, поэтому и яблоко, и стол согласны с тем, что собственное ускорение яблока равно нулю.

Существует простая физическая интерпретация собственного ускорения. Чтобы измерить правильное ускорение, вам просто нужно держать акселерометр. Предположим, вы парите в невесомости в открытом космосе, тогда ваш акселерометр будет показывать ноль, а это означает, что ваше собственное ускорение равно нулю. Если вы стоите на поверхности Земли (возможно, рядом со столом), то ваш акселерометр будет показывать$9.81\ \mathrm{m/s^2}$, и действительно ваше собственное ускорение примерно равно$9.81\ \mathrm{m/s^2}$не ноль.

Подводя итог, комментарий спрашивает меня:

Итак, давайте разберемся с этим прямо. Книга, лежащая передо мной на столе, все время ускоряется вверх? Но когда я сталкиваю его со стола и он падает, то при падении он не ускоряется? Это то, что вы говорите?

Что я говорю, и что сказал бы любой релятивист, так это то, что:

• книга на столе имеет ненулевое собственное ускорение

• падающая книга имеет нулевое собственное ускорение

И это все, что мы можем сказать. Вопрос о том, что имеет ненулевое трехкратное ускорение (ньютоновское ускорение), лишен смысла, поскольку эта величина не является инвариантной относительно системы отсчета. Вопрос о том, что имеет ненулевое собственное ускорение, имеет смысл, даже если ответ не такой, как вы ожидали.

Вы можете описать физическую ситуацию либо ньютоновским способом, либо согласно ОТО (общей теории относительности), но вы должны быть последовательны в каждом описании.
В искривленном пространстве-времени свободно падающее тело движется по геодезической траектории с нулевым ускорением. В примере объект на столе не следует геодезической линии, ведь его четырехкратное ускорение не равно нулю. Так воздействуют на тело.