Что такое весовое уравнение через общую теорию относительности?

Начните с метрики Шварцшильда

$$ds^2 = (1-\frac{r_S}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_S}{r})^{-1}dr^2-r^2d\Omega^2$$ куда $$r_S=\frac{2GM}{c^2}$$ Частица, покоящаяся на радиусе $r$и нуль угловых параметров от центра масс имеет мировую линию $$x^{\mu}=(t, r, 0, 0)$$ Таким образом, его четыре скорости равны $$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=((1-\frac{r_S}{r})^{-\frac{1}{2}}, 0, 0, 0)$$ Его четырехкратное ускорение $$a^{\mu}= \frac{du^{\mu}}{d\tau}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta}u^{\alpha}u^{\beta}$$ После поиска символов Кристоффеля, потому что я ленив, я получаю $$a^{\mu} = (0, \frac{c^2r_S}{2r^2}, 0, 0)$$ Таким образом, квадрат нормы Лоренца четырехкратного ускорения равен $$g_{\mu \nu}a^{\mu}a^{\nu}= \frac{c^4r_S^2}{4r^4(1-\frac{r_S}{r})}=\frac{G^2M^2}{r^4(1-\frac{2GM}{c^2r})}$$ Собственное ускорение объекта в момент времени t — это ускорение относительно наблюдателя в свободном падении, который на мгновение покоится относительно объекта в момент времени t. Парень в свободном падении - это тот, кто не ускоряется, а объект, покоящийся на радиусе r, - это тот, кто ускоряется. Как мы показали, его ускорение равно $$\frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$$ Итак, если вы хотите определить силу, это будет $$F=ma=\frac{GMm}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$$ В качестве $c\rightarrow \infty$мы восстанавливаем ньютоновское определение, но никто не удосуживается сформулировать его в этих терминах.

С моральной точки зрения, формула по-прежнему соблюдается в общей теории относительности. Однако оба$W$а также$g$становятся своего рода устаревшими величинами в общей теории относительности, поэтому мы никогда не будем описывать поведение физической системы таким образом.

В общей теории относительности ускорение свободного падения$g$необходимо осторожно заменить количеством, которое кодирует связь Кристоффеля для метрики. Связь не является правильным тензором, поэтому числовые значения сильно зависят от выбора координат. В различных координатах можно написать уравнение, похожее на$W=mg$. Однако в конце нас будет интересовать движение объекта, поэтому мы будем вынуждены переписать$W$в качестве$ma$в общей теории относительности, а также$a$пришлось бы рассчитывать от мировой линии движущегося объекта и т. д.

В том же, как уже намекали предыдущие предложения,$W$как-то устарел. В ОТО проще всего изучать свободное падение тел — гравитация — единственная сила, действующая в этом случае. Свободное падение описывается условием, что мировая линия является геодезической,$\delta \tau_{\rm proper} = 0$: максимизировано собственное время вдоль мировой линии (да, максимизировано, это не ошибка, знак необычный из-за подписи Минковского). В таком виде закон не зависит от массы объекта, что неудивительно, учитывая принцип эквивалентности, лежащий в основе ОТО (все объекты подвержены влиянию гравитационного поля в одинаковой степени).

Если бы объект не двигался в свободном падении, пришлось бы описывать другие силы, действующие на объект, на языке механики сплошной среды — по сути, теории поля. Общая теория относительности не описывает макроскопические объекты «несколькими числами», такими как положения и скорости. Это требует от нас описания давления и т. д. в каждой точке объектов и изучения того, как изменяется давление и как на него влияет кривизна пространства-времени. Итак, механические формулы типа$W=mg$хороши только для описания точечных масс в ОТО: они просто не подходят для протяженных объектов. А для точечных масс единственными «дальнодействующими силами», которые могут действовать управляемым образом, являются электромагнитные силы. Силы, вызванные взаимным контактом тел, требуют макроскопичности тел, и тогда необходимо использование теоретико-полевого формализма ОТО.

Обобщить,$W=mg$является примером устаревшего языка ньютоновской механики, а общая теория относительности не изменяет просто какую-то точную функциональную зависимость в подобных уравнениях, как это делает специальная теория относительности. Это заставляет нас описывать одни и те же явления, используя и другие, гораздо более общие понятия.