Орбитальная путаница в словарном запасе! Как может касательная скорость эллиптической кеплеровской орбиты не касаться орбиты?

Это разногласие по поводу того, как используются слова, например, как рассчитать угол траектории полета γ из вектора состояния? , Являются ли системы координат LVLH и RSW одним и тем же? , и Чем отличается кадр Hill от кадра LVLH в спутнике? . Математические отношения ясны и непротиворечивы, но имена, которые мы присваиваем элементам диаграммы, открыты для творческой интерпретации и, следовательно, непоследовательности.

«Рекомендуемый стандарт для сообщений с данными о соединении» Консультативного комитета по системам космических данных (CCSDS 508.0 - B-1 ), более подробно обсуждаемый в разделе « Какова вероятность столкновения?» , определяет два разных кадра, которые могут означать слова «вдоль пути» или «внутри пути». CCSDS называет их «RTN» и «TVN», в то время как в других источниках одни и те же вещи называются по-разному. Например, Вальядо называет их RSW и NTW (стр. 157 4-го издания), а документация SGP4 использует UVW и PTW.

«RTN» означает «радиальный, поперечный, нормальный». Нормальный означает единичный вектор, параллельный угловому моменту, который указывает на положение$\times$скорость. Радиальный означает параллельный вектору, указывающему от центрального тела к объекту, находящемуся на орбите, или, что то же самое, от объекта вдали от центрального тела. Поперечный означает единичный вектор, который завершает правую систему, которая указывает в плоскости орбиты где-то близко, но не точно совпадает со скоростью объекта, за исключением апогея и перигея, или если эксцентриситет равен нулю.

«TVN» означает «поперечный, скоростной, нормальный». Норма такая же, как и раньше. Скорость точно совпадает с направлением действительной мгновенной скорости. Поперечный по-прежнему означает завершение правосторонней системы, но теперь это означает, что он указывает в плоскости орбиты где-то близко, но не точно совпадает с внешним радиальным вектором положения объекта, за исключением апогея и перигея или если эксцентриситет равен нулю.

Обратите внимание на фразу «если эксцентриситет равен нулю»: для чисто круговых орбит оба определения совпадают, и нет никакой разницы. Эллипс, изображенный в вопросе, имеет эксцентриситет примерно 0,7, что находится в диапазоне, который обычно называют высокоэллиптическими орбитами, поэтому различия особенно велики и очевидны.

Определение TVN - единственное, которое я видел в математике, где оно называется кадром Френе-Серре или «TNB» для «касательного, нормального, бинормального». Однако эти слова не имеют того же значения, что и в CCSDS. Вместо этого тангенс означает направление скорости. Нормальный означает перпендикулярный скорости в направлении кривизны пути, соответствующий «Поперечному» TVN. Бинормали означает Тангенс$\times$Нормальный, что совпадает с тем, что РТН и ТВН называют «Нормальным».

Этот выбор совершенно естественен в классической дифференциальной геометрии, где внутренняя кривизна и кручение пути, параметризованные длиной, не зависят от того, что вы выбираете в качестве начала векторного пространства. Нет смысла выделять «радиальное» направление, потому что в нулевой позиции нет ничего особенного.

Однако в орбитальной механике все наоборот: все дело в том, чтобы выяснить, какая кривая должна быть основана на доминирующей гравитации массивного объекта (или барицентра системы), расположение которого обеспечивает естественное и очевидное определение нулевого положения.

Что касается компонентов, изображенных на рисунке, я согласен, что, скорее всего,$\mathbf{v}_r$означает «радиальную составляющую скорости» и$\mathbf{v}_n$означает "нормальная составляющая скорости", но значение normal уже перегружено, так что я думаю, что это приносит столько же вреда, сколько и пользы. Если бы я писал учебник, я бы, наверное, использовал$\mathbf{v}_{||}$(произносится как «v-par») означает «составляющая скорости, параллельная радиальному направлению» и$\mathbf{v}_{\perp}$(произносится как «v-perp») означает «составляющая скорости, перпендикулярная радиальному направлению».

Лично я не стал бы использовать слово «тангенциальный» ни в одной из показанных цитат, потому что мне кажется, что скорость по своей сути является тангенциальной. Однако это, вероятно, потому, что меня учили дифференциальной геометрии задолго до того, как я стал астродинамиком, и раннее знакомство с математикой во многом исказило мой словарный запас.

Термины радиальный и тангенциальный относятся к центральному телу, а НЕ к мгновенному вектору, поэтому, если радиальная скорость отлична от нуля, то тангенциальный компонент ортогонален этому и параллелен горизонту планеты. Именно Vтангенс * R представляет собой угловой момент, сохраняющийся на кеплеровской орбите.

На мгновение в апогее и перигее Vtan = V.

Нелегко найти математические выражения для радиальной и нормальной составляющих скорости на эллиптических орбитах. Если мы сложим слова

составляющая лучевой скорости на эллиптической орбите

в интернет-поисковике вы не найдете искомые математические выражения в первых записях. Но рисунок эллиптической орбиты, иллюстрирующий этот поток StackExchange, появляется среди первых изображений результатов поиска.

И на этом хорошем рисунке видно, что искомые математические выражения соответствуют$v_r$и$v_n$которые появляются в нем.

Поэтому я привожу выражения для радиальной составляющей и перпендикулярной к радиус-вектору составляющей скоростей на эллиптических орбитах, чтобы ими могли воспользоваться будущие "искатели" этих выражений, которые зайдут в эту тему.

С обычной номенклатурой:

$G$= универсальная гравитационная постоянная

$M$= масса первичного

$m$= масса вторичного

$a$= большая полуось эллиптической орбиты

$e$= эксцентриситет эллиптической орбиты

$\theta$= настоящая аномалия

$r$= радиус-вектор (вектор положения из фокуса)

Математическое выражение для расчета радиальной скорости:

$$v_r=\sqrt{\frac{G (M+m)}{a(1-e^2)}} \ \ e \sin \theta$$

А выражение для составляющей скорости, перпендикулярной радиус-вектору, имеет вид:

$$v_n=\sqrt{\frac{G (M+m)}{a(1-e^2)}} \ \ (1+e \cos \theta)$$

Естественно отсюда следует, что:

$$v=\sqrt{v_r^2+v_n^2}$$

Эту операцию можно преобразовать в известное выражение:

$$v=\sqrt{2 G (M+m)\left ( \frac 1 r - \frac 1{2a} \right )}$$

$$v=\sqrt{2 \mu \left ( \frac 1 r - \frac 1{2a} \right )}$$

Где$\mu=G(M+m)$— гравитационный параметр.

С наилучшими пожеланиями