Является ли плоскостность пространства мерой энтропии?

Мы можем до некоторой степени связать кривизну решения с его энтропией. Евклидова статистическая сумма в общей теории относительности может быть аппроксимирована следующим образом:

$$Z_{E} \approx \exp(-I_E)$$

куда$I_E$это евклидово действие, оцениваемое на всех классических решениях, которые имеют периодическое$\tau$согласовать с периодом$\beta=1/k_BT$. Энтропия системы приблизительно определяется выражением

$$S = k_B \frac{\partial }{\partial T}\left(T\log Z\right)$$

Действие Эйнштейна-Гильберта содержит скаляр Риччи, т.е.

$$I_{EH}=\int_M \mathrm{d}^d x \, \sqrt{-g} \, R$$

Следовательно, технически энтропия зависит от кривизны . Кроме того, даже для нетривиальных решений, таких как метрика Шварцшильда, могут быть случаи, когда$R=0$. Однако напомним, что для определения вполне строгого принципа действия его следует дополнить граничным членом,

$$I_{GH} = \int_{\partial M} \mathrm{d}^{d-1}x \, \sqrt{-h} \, K$$

куда$K$- внешняя кривизна, а$h_{ab}$индуцированная метрика на границе$\partial M$.

---

Пример расчета (решение Шварцшильда)

После вращения фитиля, имея в виду$\tau$является периодическим с периодом$\beta$, метрика задается,

$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1- \frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r} \right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi^2$$

Если мы выберем подходящую направленную внутрь нормаль,

$$n^{a} = - \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\delta^a_r$$

внешняя кривизна определяется выражением$\nabla_{a} n^a$, т. е. расходимость нормали. Промежуточные этапы требуют введения радиальной отсечки$R$, и вычитание граничного члена плоского пространства с той же границей . В конце концов, человек находит,

$$I_{GH} = \frac{\beta M}{2G} = \frac{A}{4G}$$

куда$A$это площадь черной дыры. Энтропия, полученная с помощью формализма, согласуется с энтропией Бекенштейна-Хокинга. (На самом деле, пограничный термин был частично из-за Хокинга.)

---

См. http://perimeterscholars.org/448.html ; лекция 10 обеспечивает расчет черной дыры Шварцшильда, а предыдущие лекции обсуждают необходимую математику подмногообразий.

Некоторые замечания:

Если мы рассмотрим черную дыру Шварцшильда, локальной мерой кривизны будет квадратный корень из скаляра Кречмана $K = R_{abcd}R^{abcd}$. Если вы рассматриваете обратную кривизну, у вас есть:

$K(r)^{-\frac{1}{2}} \sim \dfrac{r^3}{GM} \tag{1}$

С другой стороны, полная энтропия черной дыры равна:

$S \sim GM^2 \tag{2}$

[РЕДАКТИРОВАТЬ]

Вы можете, конечно, подумать о$K^{-\frac{1}{2}}$, как объемная плотность энтропии, но это неверно, во-первых, мы знаем, что мы должны сделать некоторый интеграл от некоторой величины на горизонте черной дыры, который является поверхностью, а не объемом, во-вторых, размерность$K^{-\frac{1}{2}}$не правильно, это$[K^{-\frac{1}{2}}] = M^{-2}$( а также$[S] = M^0)$, а должно быть$M^2$.

Более того, плоское пространство не «максимизирует» энтропию. Если представить какую-то пустую область пространства, то есть без какой-либо информации, то энтропии тоже не будет. Если мы начнем с заполнения этой области пространства энергией и импульсом, там будет информация и энтропия (рассматриваемая как «однородная» информация). Максимум энтропии возникает, когда энергия настолько важна в выбранной области пространства, что у вас есть черная дыра.

Если кривизна/плоскостность пространства является мерой гравитации, то эту плоскостность, безусловно, можно рассматривать как способ обозначения энтропии. Это так по очень простой причине; и не нужно впадать в крайности и рассматривать черные дыры и температуру в их окрестностях, чтобы это увидеть.

Обратите внимание на одну вещь: гравитация и энтропия — это просто два противоположных явления (силы). Энтропия — это то, что заставляет частицы удаляться друг от друга . Если не ограничивать никакими границами, энтропия, естественным образом изменяющаяся от низкой к высокой, будет заставлять частицы распространяться все больше и больше (теряя при этом энергию и скорость, но здесь это не так важно), давая им больше свободы. С другой стороны, гравитация заставляет частицы сближаться , концентрироваться. Опять же, если гравитация ничем не ограничена, она заставляет частицы приближаться друг к другу, она ограничивает свободу частиц.

Следовательно, чем более плоское пространство (меньше гравитация), тем больше свобода частиц (выше энтропия). Очевидно, что чем больше частиц, тем больше они будут ограничивать свободу друг друга, поскольку увеличивающееся количество частиц не только блокирует движение, но и увеличивает гравитацию, которую они оказывают друг на друга. Тем не менее, учитывая две области пространства — при прочих равных условиях — вы с уверенностью можете сказать, что та, у которой больше гравитация (которую вы можете измерить плоскостностью, если хотите), будет производить меньшую энтропию.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я понимаю, что такой ответ может показаться слишком простым, учитывая такие возвышенные и загадочные сущности, как черные дыры, но... ну...