Как определить местоположение свободной частицы с помощью уравнения Шредингера?

Question

Как определить местоположение свободной частицы с помощью уравнения Шредингера?

битовая маска

Я пытаюсь разобраться с уравнением Шрёдингера, рассматривая свободную частицу. Я уверен, что в какой-то момент я что-то неправильно понял.

Согласно учебнику и лекции свободная частица, движущаяся в положительном направлении x, может быть описана уравнением

Ψ (Икс, т) "=" А е^{я (к Икс - ю т)} "=" ψ (Икс) \cdot е^{- я ю т}

$\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} = \psi(x) \cdot e^{-i\omega t}$

Классически я ожидал бы, что частица будет двигаться по своему пути с некоторой постоянной скоростью. $v = (x-x_0)/t$ , поэтому я хотел бы определить вероятность $P(x,\Delta x,t)$ найти частицу между $x$ и $\Delta x$ вовремя $t$ для того, чтобы сравнить его с классическим расположением $x(t) = x_0 + v\cdot t$ .

Поскольку я ищу местоположение, я должен использовать (тривиальный) оператор местоположения $\hat{r} = r$ и я получаю:

п (Икс, Δ Икс, т) "=" \int_{Икс}^{Икс + Δ Икс} Ψ (Икс, т)^{*} \hat{Ψ (Икс, т)} г Икс "=" \int_{Икс}^{Икс + Δ Икс} Ψ (Икс, т)^{*} Ψ (Икс, т) г Икс "=" А^{2} \int_{Икс}^{Икс + Δ Икс} {е^{я (к Икс - ю т)}}^{*} е^{я (к Икс - ю т)} г Икс "=" А^{2} \int_{Икс}^{Икс + Δ Икс} г Икс "=" А^{2} Δ Икс

$P(x,\Delta x,t) = \int_x^{x+\Delta x}\Psi(x,t)^* \hat{\Psi(x,t)} dx\\ = \int_x^{x+\Delta x}\Psi(x,t)^* \Psi(x,t) dx\\ = A^2\int_x^{x+\Delta x} {e^{i(kx - \omega t)}}^* {e^{i(kx - \omega t)}} dx \\ = A^2\int_x^{x+\Delta x} dx = A^2 \Delta x$

Что для меня вообще не имеет смысла, так как это не зависит ни от $x$ или $t$ . Частица не всегда находится во всех точках по оси x с одинаковой вероятностью; Я скорее ожидал бы, что он будет двигаться вдоль оси со скоростью $v$ но независимо от того, какие константы я пихаю в $A$ используя ограничения нормализации, $P$ никогда не будет зависеть от $t$ . Но по моему мнению должен.

Очевидно, мое понимание неверно и/или я допустил некоторые ошибки в своих расчетах. Где я ошибаюсь?

Виберт

Это не работает для свободной частицы, поскольку волновая функция не интегрируема с квадратом:

\int 1 d x = \infty .

$\int 1 dx = \infty.$ Но повторите это упражнение, например, для частицы в коробке!

битовая маска

@Vibert: Если я поймаю частицу, это просто изменит нормализацию и даст мне конечное значение для A. Но основной вывод, похоже, не изменится.

Виберт

Кстати, вы вставляете не оператор позиции, а оператор, который является «функцией поля», которая равна 1 на интервале

[x, x + d x]

$[x,x+ dx]$ и 0 в противном случае. Ожидаемая стоимость позиции не определена:

⟨ x ⟩ = \int x ψ^{*} ψ = \int x = \infty .

$\langle x \rangle = \int x \psi^* \psi = \int x = \infty.$

Ответы (3)

Как определить местоположение свободной частицы с помощью уравнения Шредингера?

Это не работает для свободной частицы, поскольку волновая функция не интегрируема с квадратом: $\int 1 dx = \infty.$ Но повторите это упражнение, например, для частицы в коробке!
@Vibert: Если я поймаю частицу, это просто изменит нормализацию и даст мне конечное значение для A. Но основной вывод, похоже, не изменится.
Кстати, вы вставляете не оператор позиции, а оператор, который является «функцией поля», которая равна 1 на интервале $[x,x+ dx]$ и 0 в противном случае. Ожидаемая стоимость позиции не определена: $\langle x \rangle = \int x \psi^* \psi = \int x = \infty.$

Джон Ренни · Answer 1

Когда вы решаете уравнение Шрёдингера для свободной частицы, вы получаете семейство решений вида $\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ и все суперпозиции этих функций. Таким образом, простое решение уравнения Шредингера не дает решения для конкретной частицы. Для этого нужно указать начальные условия.

Если принять решение за $\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ тогда вы (само того не осознавая) указываете, что начальным условием является полностью делокализованная частица, т. е. частица, для которой у нас есть точное знание импульса, но не знание положения. Вот почему, когда вы пытаетесь вычислить позицию, вы получаете глупый ответ.

Если вы зададите начальные условия как $\Psi(x, 0)$ тогда вы фактически создали волновой пакет , описывающий вашу частицу, поэтому она имеет конечную неопределенность положения и, конечно же, конечную неопределенность импульса. Теперь вы можете рассчитать математическое ожидание позиции как функцию времени.

Твой $\Psi(x, 0)$ вероятно, будет выражена как линейная суперпозиция решений плоской волны. Чтобы вычислить суперпозицию, просто преобразуйте Фурье $\Psi(x, 0)$ .

Ответ на комментарий:

В своем комментарии вы спрашиваете:

Сначала мне нужно было бы подключить некоторые ограничения и получить значение для A, или как мне это сделать?

но дело не только в выборе значения $A$ в $A e^{i(kx - \omega t)}$ потому что это не описывает локализованную частицу, какое бы значение вы ни выбрали для $A$ .

Предположим, во время $t = 0$ мы точно знаем положение частицы, $x = 0$ . Это означает, что исходная волновая функция является дельта-функцией :

Ψ (Икс, 0) "=" дельта (Икс) е^{- я ю т}

$\Psi(x, 0) = \delta(x) e^{-i\omega t}$

то есть $\Psi(x, 0)$ равен нулю везде, кроме $x = 0$ . Положение этой частицы, очевидно, $x = 0$ .

Проблема в том, что не очевидно, как эта волновая функция эволюционирует во времени. Мы знаем, как плоские волны развиваются во времени, поэтому мы можем легко вычислить эволюцию во времени, если бы мы могли выразить $\delta(x)$ функционируют как сумма плоских волн:

дельта (Икс) "=" \sum_{я} А_{я} е^{я (к Икс - ю т)}

$\delta(x) = \sum\limits_i A_i e^{i(kx - \omega t)}$

Проблема заключается в том, чтобы решить, как сделать эту сумму, т.е. каковы значения коэффициентов $a_i$ и сколько членов нам нужно в сумме. Мы можем решить это, преобразовав Фурье нашу $\delta$ функция, потому что это именно то, что делает преобразование Фурье. Он выражает любую функцию как интеграл плоских волн. Статья в Википедии, на которую я ссылаюсь, более подробно описывает это. Ответ таков:

дельта (Икс) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} е^{я (к Икс - ю т)} г к

$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(kx - \omega t)} dk$

На самом деле выбирая $\delta$ Функция в качестве начальных условий бесполезна, потому что, если у нас есть точное положение, мы имеем бесконечную неопределенность в импульсе, а если импульс бесконечно неопределен, мы не можем вычислить будущее положение. Если вы пытаетесь описать реальную систему, вы бы выбрали что-то вроде гауссова:

Ψ (Икс, 0) "=" к е^{- ({Икс}^{2} / Δ {Икс}^{2})}

$\Psi(x, 0) = k \space e^{-(x^2/\Delta x^2)}$

Это описывает частицу со средним значением $x = 0$ и неуверенность в $x = \Delta x$ . Теперь вы можете преобразовать Фурье $\Psi(x, 0)$ выразить его как интеграл плоских волн, и теперь вы можете вычислить математическое ожидание $x$ как функция времени.

Первая половина этого ответа на самом деле имеет для меня смысл, но вторую я не совсем понимаю (и меня смущает отрицательный голос). В любом случае, чтобы получить неглупый ответ, мне пришлось бы сначала подключить некоторые ограничения и получить значение для A, или как мне это сделать?
Ответ правильный, я не получаю отрицательный голос. В последнем утверждении — это будет линейная суперпозиция свободных волн, просто для большей ясности.
@bitmask: меня тоже смущает отрицательный голос :-) Я отредактировал свой ответ, чтобы ответить на ваш комментарий. Я надеюсь, что это сделает его более понятным и не еще более запутанным :-)
Мне кажется, вы объяснили как можно лучше, и вопрос теперь мне немного понятен, спасибо. Но теперь он убивает те части, которые, как мне казалось, я уже понял ... тогда вернемся к книгам :)
@bitmask: наберитесь терпения, это очень распространенная ошибка новичков в QM. Загляните на farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node25.html для получения дополнительной информации о задействованной математике и на demos.wolfram.com/EvolutionOfAGaussianWavePacket для анимации.
@JohnRennie, ой. Я только что написал ответ с решением волнового пакета.)
@PeterKravchuk: твой ответ лучше статьи, на которую я дал ссылку! +1 :-)

Петр Кравчук · Answer 2

Я хочу уточнить ответ Джона Ренни. Уравнение Шрёдингера для свободной частицы имеет вид ( $\hbar=1$ ):

я \frac{\partial}{\partial т} ψ "=" - \frac{1}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} ψ .

$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi.$ Это дифференциальное уравнение первого порядка с переменной

t

$t$ . Для ее решения необходимо указать исходные данные, скажем,

ψ (t = 0)

$\psi(t=0)$ . В этот момент вы должны знать, что работает принцип неопределенности, поэтому вы не можете сказать, что у вас есть форма, движущаяся частица

x_{0}

$x_0$ со скоростью

v

$v$ . Если вы выбираете плоскую волну в качестве исходных данных, вы говорите, что импульс (скорость) точен, и, следовательно, неопределенность в

x

$x$ бесконечно — частица может находиться в любой точке. Такие состояния не возникают в реальных экспериментах. Однако вы можете выбрать некоторые разумные исходные данные, такие как:

ψ (Икс, 0) "=" А опыт (- {Икс}^{2} / 4 Δ {Икс}^{2} + я п Икс) .

$\psi(x,0)=A\exp(-x^2/4\Delta x^2+ipx).$ Если вы возьмете

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ , вы увидите, что это частица вблизи

x = 0

$x=0$ (распределение Гаусса с дисперсией

Δ x

$\Delta x$ ). Если вы перейдете к представлению импульса, вы увидите, что распределение импульса также является гауссовским вокруг

p

$p$ с дисперсией о

1 / Δ x

$1/\Delta x$ (в соответствии с принципом неопределенности):

ψ (к, 0) "=" А \sqrt{4 π Δ {Икс}^{2}} опыт (- (к - п)^{2} Δ {Икс}^{2})

$\psi(k,0)=A\sqrt{4\pi\Delta x^2}\exp(-(k-p)^2 \Delta x^2)$

Вопрос в том, как решить это уравнение с этими исходными данными? Проще всего сделать преобразование Фурье и записать исходные данные в виде обратного преобразования Фурье:

ψ (Икс, 0) "=" \int \frac{г к}{2 π} ψ (к, 0) опыт (я к Икс)

$\psi(x,0)=\int \frac{dk}{2\pi} \psi(k,0)\exp(ikx)$ Вы видите, что это суперпозиция плоских волн, поэтому, поскольку уравнение является линейным, вы можете просто решить его для плоских волн. Решение читается как:

ψ (Икс, т) "=" \int \frac{г к}{2 π} ψ (к, 0) опыт (я к Икс - я ю (к) т), ю (к) "=" к^{2} / 2 м

$\psi(x,t)=\int \frac{dk}{2\pi} \psi(k,0)\exp(ikx-i\omega(k)t),\\ \omega(k)=k^2/2m$ Вы можете взять этот интеграл, потому что он гауссовский, и получить:

ψ (Икс, т) "=" А \sqrt{\frac{2 Δ {Икс}^{2}}{2 Δ {Икс}^{2} + я т / м}} опыт {- \frac{(Икс - п т / м)^{2}}{4 Δ {Икс}^{2} + 2 я т / м} + я п Икс - я т п^{2} / 2 м} .

$\psi(x,t)=A\sqrt{\frac{2\Delta x^2}{2\Delta x^2+it/m}}\exp\left\{-\frac{(x-pt/m)^2}{4\Delta x^2+2it/m}+ipx-itp^2/2m\right\}.$ Вы можете видеть, что ваше распределение Гаусса для

x

$x$ движется со скоростью

p / m

$p/m$ , как и ожидалось. Вы также можете заметить, что неопределенность в

x

$x$ растет.

Спасибо! Мне пришлось перечитать это несколько раз, но я думаю, что уловил суть. Кажется, я ужасно ошибся, выбрав простой пример для понимания волновой функции :)
Но как это связано с вопросом о P(x,\delta x,t)?
@freude $P(x,\Delta x,t)=\int_x^{x+\Delta x} |\psi(x,t)|^2 dx\simeq|\psi(x,t)|^2\Delta x$ . Гауссов волновой пакет является примером экспериментально реализуемой волновой функции.
@freude Это вероятность найти частицу в интервале $[x,x+\Delta x]$ при измерении его положения во времени $t$ .
Как вы собираетесь это измерять? Что такое техника? Разве вы не должны локализовать свою частицу, чтобы сделать это?
@freude. Вы не можете измерить вероятность. Но если вы повторите один и тот же эксперимент много раз, где эксперимент состоит в том, чтобы подготовить частицу в этом начальном состоянии, выжидая некоторое время. $t$ , а затем измерив его положение, то после многих повторений вы увидите, что измеренные положения удовлетворяют этому распределению.
давайте продолжим эту дискуссию в чате
@freude. Извини, я должен идти. Мы говорим об основных принципах квантовой механики. Вы можете прочитать об интерпретации волновой функции в любом учебнике по квантовой механике. Если вы думаете, что уже поняли это, а я ошибаюсь, то вряд ли я вас сейчас переубедю. Спасибо за обсуждение.

фрейд · Answer 3

Проблемы, с которыми вы столкнулись, связаны с тем, что вы пытаетесь рассчитать вероятность какой-то нефизической ситуации. Квантовая механика может дать вам вероятность результата некоторого эксперимента. Эта волновая функция не содержит никакой информации (ограничений) относительно того, как вы собираетесь ее измерять и что вы собираетесь измерять (координата какого оператора или импульс). Другими словами, вы вычисляете вероятность ничего. Например, чтобы измерить импульс частицы, люди могут использовать эксперимент с двумя щелями в качестве измерительной установки. Если вы хотите измерить пространственную координату, вы должны сначала локализовать частицу, используя экран с отверстием или что-то в этом роде. Для интерпретации таких опытов может быть полезна задача «частица в ящике».

Ну пример обсуждается в (очень хорошем) учебнике и лекции (в них просто не вдается подробно о положении частицы). Значит, это должно иметь какое-то значение. Свободная частица с постоянной скоростью не кажется мне «нефизической» ситуацией. Я признаю, что мог допустить некоторые ошибки в своих расчетах, но предпосылка должна быть верной.
В квантовой механике «постоянная скорость» — это уже нефизическая ситуация. Все колеблется.
Вы все правильно сделали в расчетах. Итак, если исходные утверждения верны, вам следует довольствоваться тем, что вы получили, т.е. квадратом нормы, умноженным на объем пространства. Вы слышали что-нибудь об наблюдаемых?

Как определить местоположение свободной частицы с помощью уравнения Шредингера?

битовая маска

Виберт

битовая маска

Виберт

Ответы (3)

Джон Ренни

битовая маска

Петр Кравчук

Джон Ренни

битовая маска

Джон Ренни

Петр Кравчук

Джон Ренни

Петр Кравчук

битовая маска

фрейд

Петр Кравчук

фрейд

Петр Кравчук

фрейд

Петр Кравчук

фрейд

Петр Кравчук

фрейд

битовая маска

фрейд

фрейд

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Отрицательный потенциал бесконечной квадратной ямы

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Можно ли решить уравнение Шредингера для дейтерия?

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?

Каковы минимальные постулаты для выполнения квантовой механики в формулировке интеграла по путям, не зная операторной формулировки?

Собственные функции против собственных состояний

Ожидаемое значение гамильтониана?