Есть ли реальное доказательство принципа неопределенности энергии-времени?

Насколько я понимаю, принцип неопределенности энергия-время не может быть выведен из обобщенного соотношения неопределенностей. Это связано с тем, что время является динамической переменной, а не наблюдаемой в том же смысле, что и импульс.
Каждая студенческая книга по КМ, с которой я сталкивался, давала очень грубое «доказательство» соотношения неопределенности время-энергия, но не что-то строгое или даже отдаленно близкое к строгому.
Итак, есть ли этому фактическое доказательство? Если да, может ли кто-нибудь дать мне ссылку на него или даже предоставить мне доказательство? Имейте в виду, что я не ищу доказательства с использованием принципов квантовой механики, как указано в комментариях ниже.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Все доказательства, которые я нашел, используют обобщенное соотношение неопределенностей и говорят: «Пусть Δ т знак равно о д / | д д / д т | ", см., например, этот пост Phys.SE. Но для меня этого недостаточно в качестве строгого доказательства. Люди придают этому Δτ точное значение, но связь доказывается просто определением Δτ, поэтому я просто ищу доказательство ( если таковое имеется), которое показывает это значение с помощью математики. Если не существует лучшего доказательства, пусть будет так. Тогда я буду доволен именно доказательством, с помощью которого мы определяем эту величину. Определяя ее таким образом, есть место для интерпретации , и это видно из множества значений, которые исследователи придали этой величине (конечно, все это касается времени).

Математики называют его Коши-Шварцем, я думаю, по крайней мере, его можно вывести из него: physics.stackexchange.com/q/24116 . Если вы посещаете занятия по функциональному анализу, это своего рода «вводный материал». При этом не путайте физику с математикой.
@CuriousOne Я знаю, что с помощью неравенства Коши-Шварца можно вывести обобщенный принцип неопределенности, но, поскольку время является динамической переменной (вы не можете вычислить ее коммутатор с помощью гамильтониана), я не понимаю, как можно вывести время -энергетическая зависимость неопределенности из обобщенного принципа неопределенности. Все книги (и предоставленные ссылки) выводят его, просто говоря: «Пусть Δτ = σq/|dq/dt|» но это меня не удовлетворяет.
Вот тут-то и появляется мой комментарий «не путайте математику с физикой». Это соотношение сохраняется независимо от квантовой природы ваших функций. Он много раз использовался в алгоритмах WIFI, встроенных в ваш мобильный телефон. Вы не можете вывести из квантовой теории что-то, что не требует никакого квантования.
@CuriousOne, но разве его нельзя вывести из волновой механики или, может быть, из анализа Фурье? Если я сказал/подразумевал, что это должно быть выведено ИЗ квантовой механики, то я был неправ.
Я не думаю, что он есть, по той самой причине, по которой вы говорите. В энерго-временном «принципе неопределенности» эта интерпретация Δ т насколько я могу судить, вы пишете в своей последней строке, насколько это возможно: это всего лишь смутная мера времени, в течение которого ожидание наблюдаемого заметно изменится. Я действительно хотел бы, чтобы люди не пытались выдать это за то же явление, что и неравенство Гейзенберга, которое, если кто-то не может показать нам интерпретацию дисперсии наблюдаемой для Δ т , это совершенно другой принцип и аргумент.
На данный момент я действительно не понимаю вашего вопроса. Коши-Шварц — очень общее утверждение о векторах, для которых существует скалярный продукт. Это можно отнести к функциональным пространствам, линейным операторам и т. д. Вот и все. Здесь нет физики, потому что у нее нет физической мотивации, кроме того, что временные ряды можно рассматривать как векторы, и есть дуальное пространство с разумными свойствами.
@CuriousOne Я полностью понимаю вашу точку зрения, но разве неравенство CS не используется для получения обобщенного соотношения неопределенностей? Но тогда ни одна книга не может строго (не математическая строгость) вывести неопределенность времени-энергии из обобщенного принципа неопределенности. Неравенство CS используется для вывода обобщенного соотношения неопределенностей, и меня устраивает это доказательство. Но когда мы закончим с этим доказательством и захотим вывести из него соотношение неопределенности время-энергия, это то, что меня не устраивает (второй вывод). Надеюсь, я вас больше не запутал!
Что вы подразумеваете под своим редактированием, что «этого для меня недостаточно в качестве доказательства». Они определяют Δ т (потому что, как вы говорите, его нельзя определить, как другой Δ А где А — некоторый оператор, поэтому нам нужно сделать что-то другое), а затем доказать отношение. Что вы лично недовольны этим выбором Δ т никак не влияет на правильность доказательства.
@CuriousOne Но простое определение количества, которое имеет единицы времени как Δτ, а затем предоставление нашего собственного определения, делает его тем, что мы говорим? Моя проблема в том, что это доказательство не придает ему точного значения, которое, по мнению большинства людей, оно имеет. Итак, я прошу доказательство, которое на самом деле показывает с помощью математики значение, которое, по словам людей, оно имеет.
См. ответ Джоша на вопрос Что такое ΔtΔt в принципе неопределенности время-энергия? для соответствующего обсуждения.
Альтернативный способ думать о Δ Е Δ т было бы рассмотреть Δ п Δ Икс куда п а также Икс являются компонентами 4-импульса и 4-позиции. Тогда просто выпадает, что Δ Е Δ т просто времяподобная компонента. Не знаю, насколько это строго, поэтому не публикуется в качестве ответа

Ответы (3)

Основная проблема, как вы говорите, в том, что время не является оператором в квантовой механике. Следовательно, нет ожидаемого значения и нет дисперсии, что означает, что вам нужно указать, что Δ т должно означать, прежде чем вы сможете написать что-то вроде Δ Е Δ т ≥ ℏ или похожие.

Как только вы определите, что вы подразумеваете под Δ т , отношения, которые выглядят похожими на отношения неопределенностей, могут быть получены с любой математической строгостью, какой вы хотите. Определение Δ т должно, конечно, исходить из физики.

В основном, конечно, люди видят Δ т не как неопределенность, а как своего рода продолжительность (см., например, знаменитую естественную ширину линии, для которой, я уверен, существуют строгие производные). Например, вы можете задать следующие вопросы:

  • Учитывая сигнал временной длины т (занимает т от «нет сигнала» до «сигнал полностью поступил»), какова дисперсия энергии/импульса? Это можно сопоставить с обычным принципом неопределенности, потому что временная длина — это всего лишь разброс в пространстве позиций. Это также связано с так называемым принципом неопределенности Харди , который является всего лишь замаскированным и полностью строгим принципом неопределенности Фурье.

  • Если вы проводите измерение энергии, можете ли вы связать продолжительность измерения и неопределенность измерения энергии? Это очень проблематично (см., например, обзор здесь: Соотношение неопределенности времени и энергии . Выбрав модель измерения, вы, вероятно, сможете получить строгие границы, но я не думаю, что строгие границы действительно будут полезны, потому что никакая модель измерения, вероятно, не поможет. фиксирует все, что возможно в экспериментах.

  • Вы можете задать тот же вопрос о неопределенности времени подготовки и энергии (см. обзор).

  • Вы можете спросить: данное состояние | ψ ⟩ , сколько времени требуется, чтобы состояние превратилось в ортогональное состояние? Оказывается, между энергией (данной из гамильтониана эволюции времени) и длительностью существует соотношение неопределенностей - это соотношение Мандельштама-Тамма, о котором идет речь в другом вопросе. Это отношение можно сделать строгим ( эта статья могла бы дать такой строгий вывод, но я не могу получить к нему доступ).

  • другие идеи (см. также обзор)...

Другими словами: сначала вам нужно сказать мне, что Δ т значит. Тогда вы должны сказать мне, что Δ Е должно означать (можно возразить, что это ясно из квантовой механики). Только тогда вы сможете осмысленно задать вопрос о выводе соотношения неопределенности энергия-время. Обобщенный принцип неопределенности делает именно это, он говорит вам, что Δ количества - это вариации операторов, поэтому у вас есть четко определенный вопрос. Книги, которые вы читаете, предлагают лишь физическую эвристику того, что Δ т а также Δ Е означает в особых обстоятельствах - следовательно, математически строгий вывод невозможен. Однако это само по себе не проблема, потому что эвристика может быть очень мощной.

Я полностью за то, чтобы требовать строгих доказательств там, где лежащий в основе вопрос может быть поставлен строгим образом, но я сомневаюсь, что это имеет место здесь для универсально справедливого соотношения неопределенностей, потому что я сомневаюсь, что универсально верное определение Δ т можно дать.

Я думаю, что этот вопрос получает суть того, что я прошу! Тот факт, что в стандартном «доказательстве» мы определяем Δτ, оставляет место для интерпретаций, подобных тем, которые вы представили. Разве это не ваш ответ по существу? Что я должен точно сказать вам, что означает Δτ, чтобы попытаться вывести его?
Да. И я хотел передать еще две вещи: (i) в определенных случаях мы знаем, что Δ т есть и, таким образом, можно получить строгие оценки, такие как неравенство Мандельштама-Тамма; (ii) в целом я сомневаюсь, что это так, т.е. я не думаю, что мы можем просто дать одно определение, которое справедливо для всей квантовой механики и всегда дает принцип неопределенности. Такое определение казалось бы нефизическим, потому что что-то вроде «прошедшего времени» всегда имеет некоторую произвольность (когда я начну измерять? когда я остановлюсь?).

В этом случае. Связь неопределенности с энергией и временем является предметом анализа Фурье. На самом деле отношения Δ ю Δ т ≃ 1 был известен в классической ЭМ и электротехнике до квантовой физики. Использование анализа Фурье в электротехнике имело почти такое же соотношение неопределенностей, что и взаимное соотношение между частотой и временем.

В классической механике есть отношения скобок Пуассона между импульсом и положением, а в квантовой механике есть операторная замена этих отношений.

{ д , п } знак равно 1   →   [ д , п ] знак равно я ℏ .
В гамильтоновой механике нет скобок Пуассона между временем и энергией. В квантовой механике, как следствие, если использовать это слово неофициально, нет оператора времени. Это приводит к некоторым интересным сложностям с релятивистской квантовой механикой и квантовой теорией поля.

Квантовая механика — это волновая механика, и аналитическая основа Фурье для неопределенности энергии-времени «достаточно хороша», чтобы ее принять. Физическая основа неопределенности энергия=время достаточно сильна, чтобы ее принять. У нас просто есть некоторая различимая ситуация между пространством и импульсом и временем и энергией. В некотором смысле это знак, противоречащий эйнштейновской идее.

Но есть ли реальные доказательства? Более строгая (не математическая строгость)?
@QuanticMan, похоже, вам нужны задокументированные наблюдения. Доказательство (в этом контексте) является математическим по определению. В остальном ничего не доказано, только теоретизируется и наблюдается, чтобы соответствовать теории.
Я говорю о математическом доказательстве

Краткий ответ: неопределенность импульса положения существует, потому что их операторы не коммутируют. Точно так же операторы времени и энергии не коммутируют.

Более длинный ответ: во-первых: физика — это эмпирическая наука, поэтому «доказательство» должно быть экспериментом. Иногда допустимы мысленные эксперименты, потому что они полезны для построения и тестирования моделей. Математические доказательства не являются физическими доказательствами.

Синтез в физике включает построение моделей (обычно математических) для объяснения наблюдаемого поведения. В QM эти интеллектуальные здания продвинулись довольно далеко.

В контексте этих математических моделей для QM я бы отметил следующее:

1) «Состояние» системы КМ представлено «волновой функцией» \psi, амплитуда которой дает информацию об ожидаемых результатах экспериментов.

2) Различные наблюдения рассматриваются как операторы волновых функций. Например, position — это оператор «x». Интересно, что при построении моделей импульс интерпретировался как "\partial / \partial \Vec(x)" - т.е. градиент. Почему? хорошо, потому что это объясняет наблюдаемые эксперименты. (опять же - эталон "истины" или "доказательства" или вывода в физике)

3) Предсказание измерений наблюдаемых — это функционал, действующий на волновую функцию и оператор. Так, например, ожидание измерения положения равно <\psi|x|\psi> (с использованием скобочных обозначений)

4) Соотношение неопределенностей положения-импульса: обратите внимание на оператор импульса, P=\partial/\partial \vec(x) не коммутирует с оператором положения. Т.е. Px <> xP на самом деле антикоммутатор [P,x] \определенный Px - xP = 1 (если заметить, что я использовал единицы, где h-bar = 1). Не забудьте рассматривать P и x как операторы и применить цепное правило дифференцирования. Эта антикоммутация операторов является в рамках построенных моделей на КМ источником соотношения неопределенностей. Т.е. не все операторы коммутируют.

5) Теперь рассмотрим время и энергию. Чтобы их можно было наблюдать, оба должны быть представлены как операторы, действующие на волновые функции. Каковы операторы времени и энергии? - просто. Оператор времени — это просто умножение на t. Оператор энергии определяется как \partial / \partial t. --- Посмотрите, как отношение неопределенности энергии-времени выглядит как отношение неопределенности положения импульса?

КЭД Ну, насколько КЭД имеет смысл для физики, поскольку физика <> математика. Настоящее горнило заключается в том, как это предсказание математической модели, используемой для QM, предсказывает и согласуется с экспериментом. И получается - очень хорошо.

Комментарии:

О. В этом смысле мы не доказываем неопределенность Et из неопределенности xP, а используем математическую архитектуру, разработанную для QM в целом.

B. Время, являющееся динамической переменной, не является проблемой. Если вы хотите измерить время, вы должны определить оператор для этого. В этом смысле он ничем не отличается от измерения положения, вращения, заряда или...

C. Время как «особую» динамическую переменную можно исключить, приняв точку зрения Лангранжа, но это другое обсуждение, которое ведет по фейнмановскому пути.

D. Соотношение неопределенностей Et совершенно естественно выпадает из релятивистского подхода. Когда 3-векторы становятся 4-векторами, вам лучше иметь неопределенность tE, иначе Гейзенберг очень разозлится. Таким образом, в этом смысле можно было бы «вывести» неопределенность Et из неопределенности xP, потребовав хорошего поведения с учетом релятивистских соображений, но, на мой взгляд, просто отметить, что операторы не коммутируют, — это более простой подход. (Очевидно, что это личное интеллектуально-эстетическое суждение, но, думаю, многие его разделяют.)

Вы на самом деле сталкиваетесь с некоторыми проблемами в первом абзаце, потому что ни время, ни обычные Е ^ знак равно я ℏ ∂ ∂ т формально являются операторами в КМ. См. physics.stackexchange.com/questions/53802/… physics.stackexchange.com/questions/220697/… physics.stackexchange.com/questions/17477/… и множество ссылок там.
Есть ли реальное доказательство принципа неопределенности энергии-времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v