Формула следует из формулы проводимости Кубо (основанной на теории линейного отклика), которая обсуждается в этом вопросе: Формула Кубо для квантового эффекта Холла и в ссылках в ней. Исходя из формулы Кубо (наборе = ℏ= 1
)
ох у= я∑Ем< 0 <Ен⟨ м |вИкс| п⟩⟨п |ву| м⟩-⟨м |ву| п⟩⟨п |вИкс| м⟩(Ем−Ен)2,(1)
где
| м⟩
- собственное состояние одной частицы с собственной энергией
Ем
, т.е.
ЧАС| м⟩=Ем| м⟩.(2)
Возьмем производную импульса
∂к
по обе стороны уравнения. (2), имеем
(∂кЧАС) | м ⟩ + Н∂к| м⟩=(∂кЕм) | м ⟩ +Ем∂к| м⟩.(3)
Затем перекрываются с
⟨ п |
слева, уравнение (3) становится
⟨ п | (∂кЧАС) | м ⟩ +Ен⟨ п |∂к| м⟩=(∂кЕм) ⟨ п | м ⟩ +Ем⟨ п |∂к| м⟩.(4)
Здесь мы использовали
⟨ п | ЧАС"="Ен⟨ п |
. Если
| м⟩
и
| п⟩
являются разными собственными состояниями (для
Ем≠Ен
в уравнении (1)), их перекрытие должно исчезнуть, т.е.
⟨ п | м ⟩ = 0
. Также обратите внимание, что
∂кЧАС
не что иное, как оператор скорости
v =∂кЧАС
по определению. Итак, уравнение (4) можно свести к
⟨ п | в | м ⟩ = (Ем−Ен) ⟨ п |∂к| м⟩.(5)
Замените уравнение (5) к уравнению. (1) (восстановление
Икс
,
у
индекс), мы имеем
ох у= - я∑Ем< 0 <Ен( ⟨м|∂кИкс| п⟩⟨п |∂ку| м⟩-⟨м |∂ку| п⟩⟨п |∂кИкс| м⟩ ) .(6)
С другой стороны, соединение Берри определяется какА знак равно я ⟨ м |∂к| м⟩
, а кривизна Берри равнаФх у= (∂к× А)г"="∂кИксАу−∂куАИкс
. При условии(∂к⟨ м | ) | п ⟩ знак равно - ⟨ м |∂к| п⟩
(интегрирование по частям), мы можем видеть
Фх у= - я∑н( ⟨м|∂кИкс| п⟩⟨п |∂ку| м⟩-⟨м |∂ку| п⟩⟨п |∂кИкс| м⟩ ) +я⟨м |∂кИкс∂ку−∂ку∂кИкс| м⟩.(7)
Последний член исчезнет, поскольку частные производные коммутируют друг с другом. Таким образом, сравнивая с уравнением (6), получаем
ох у"="∑Ем< 0Фх у∼∫БЖг2кФх у.(8)
Это означает, что проводимость Холла представляет собой просто сумму
чисел Черна , т. е. полного потока Берри через зону Бриллюэна (ЗБ) для всех занятых зон. Конечно, мы можем перепараметризовать импульсное пространство другой парой переменных, и общий поток Берри через ЗБ не изменится (поскольку он не зависит от координат).
Так в чем же физический смыслФх у
?Фх у
— эффективное магнитное поле в импульсном пространстве (перпендикулярнох у
-самолет вдольг
-направление). Мы знаем, что для магнитного поляБ
в реальном пространстве на движущуюся в нем заряженную частицу будет действовать сила Лоренца , так что уравнение движения будет иметь видк˙"="р˙× Б
. Теперь перейдем к импульсному пространству, нам просто нужно поменять местами импульск
и координатар
, и заменитьБ
кФ
(обратите внимание, что символФ
здесь обозначена кривизна Берри, а не сила), что приводит к
р˙"="к˙× Ф(9)
Так что же
р˙
? Это скорость электрона, которая пропорциональна
электрическому току Дж
. И что такое
к˙
? Это сила, действующая на электрон (поскольку сила - это скорость изменения импульса со временем), которая пропорциональна напряженности
электрического поля .
Е
, поэтому уравнение (9) подразумевает
j ∼ E× Ф.(10)
Поэтому кривизна Берри
Фх у
в каждой точке импульса просто дает
отклик Холла одночастичного состояния в этом импульсе. Таким образом, холловская проводимость всей электронной системы должна быть суммой кривизны Берри по всем занятым состояниям, что указано в уравнении (8).
ЦыпленокБог
Эверетт Ю
Эверетт Ю
jjcale
Эверетт Ю
jjcale