Почему допускается «злоупотребление нотацией»?

Я лично споткнулся на нескольких концепциях, которые сводились к злоупотреблению обозначениями, и я читал еще много об обмене стеками. Вроде все прощается по мановению руки. Почему мы вообще это терпим?

Я понимаю, если позже в учебе предполагается, что вещи на месте, но существует множество учебников, предполагающих, что определенные вещи известны до их преподавания. Это очень мягкий вопрос, но я думаю, что его следует задать.

Возможно, вы могли бы уточнить, как вы определяете «злоупотребление нотацией»: это когда нотация вводится, но не объясняется или не определяется (т. е. предполагается, что она понята)? или вы имеете в виду, когда вместо стандартных используются нетрадиционные обозначения? Или оба. Примеры помогут.
Иногда хороших обозначений не существует; Я даже слышал, что в некоторых случаях простое придумывание хорошей записи для чего-то может стать важным математическим прогрессом. Увы, не могу найти ссылку.
@Hurkyl Может быть, это: «Изобретение символа ≡ Гауссом дает поразительный пример преимуществ, которые могут быть извлечены из соответствующих обозначений, и знаменует собой эпоху в развитии арифметической науки».
Мы принимаем это, потому что никто не является нотацией — Линкольном, чтобы освободить нотацию от ужасного контекста, в котором они живут, что позволяет нам бесконечно злоупотреблять ею к нашему большому удовольствию!
Одно злоупотребление, которое сбивает с толку, никому не служит и должно быть искоренено немедленно, — это ужасное использование л { ф ( т ) } для преобразования Лапласа. Просто пиши л ф .
О, я помню, как на первом курсе я делал заметки на лекциях по математике и пытался очистить математику, чтобы у меня там вообще не было слов, кроме заголовков, имен и некоторых мелких комментариев, и это должно быть как можно компактнее. Теперь я могу сделать 10-страничное доказательство теоремы на одной странице, так что я могу увидеть полную картину одним взглядом, это очень помогает.
@copper.hat Согласен, но тогда надо переписать таблицы трансформ, чтобы в них было л { т ↦ грех ⁡ т } вместо л { грех ⁡ т } и т. д.
@PavelM: Или просто л { грех } :-). Оно слишком укоренилось, чтобы его можно было изменить, но если бы я выбрал одно неправильное обозначение, о которое, как я видел, спотыкались студенты, то это различие (или его отсутствие) между функцией и ее оценкой.
@copper.hat Аккуратно, но не подойдет для л { 1 / ( т 2 + 1 ) } . Да, на протяжении всей последовательности исчисления/дифференциальных уравнений студентов сдерживает недостаточное понимание концепции функции . Нотация, объединяющая функции и алгебраические выражения, не помогает. Возможно, именно в этом могут помочь системы компьютерной алгебры, потому что они менее терпимы к неправильному использованию обозначений. В Maple y:=x^2 и y:=x->x^2 — разные вещи.
@Korgan Я был в той же лодке, что и вы, и пытался использовать полностью правильные и четко определенные обозначения как можно дольше. Поверьте мне, в таком простом курсе, как базовый анализ, я не смог продвинуться дальше 6-7 разделов, не написав слишком много утомительного материала. Вместо этого я сдался и принял свободные обозначения.
Обратите внимание, что разные люди по-разному относятся к неправильному обозначению. Например, я сторонник того, чтобы оставить область квантификации, но включить квантификатор. Например, письмо ∀ Икс . грех 2 ⁡ ( Икс ) + потому что 2 ⁡ ( Икс ) "=" 1 (слегка оскорбительно) означает, что ∀ Икс е р . грех 2 ⁡ ( Икс ) + потому что 2 ⁡ ( Икс ) "=" 1 (формальный), который часто просто пишется грех 2 ⁡ ( Икс ) + потому что 2 ⁡ ( Икс ) "=" 1 (максимально оскорбительно).
Ха. Просто пиши грех 2 + потому что 2 "=" 1 .
Это напоминает мне этот ответ: math.stackexchange.com/questions/1093696/…

Ответы (10)

Сомневаюсь, что смог бы выразиться лучше, чем это:

«Изучающий математику должен выработать терпимость к двусмысленности. Педантичность может быть врагом проницательности». - Гила Ханна

Я также очень рекомендую статью Теренса Тао, описывающую «дострогую», «строгую» и «постстрогую» стадии развития математика.

Интересный. Вас так учат в США? Я не могу вспомнить «дострогую» эру в моей учебе в бакалавриате. Я мог бы предложить среднюю школу, но это не считается (особенно если у вас есть три года службы в армии и примерно год или два дополнительных, прежде чем вы вернетесь в академию). Мы просто переносим детей в суровую эпоху. Это весело и болезненно для большинства. Помню, как первокурснику он очень нравился. Проблема в том, что часто постстрогая эра вводится (здесь) слишком рано... так что это еще одна травма для большинства студентов.
@AsafKaragila: Практически все формы «ориентированной на вычисления» математики на самом деле являются предварительными формами реальной математической дисциплины. Путаница возникает из-за того, что а) мы склонны давать им разные имена и б) гораздо больше студентов изучают дострогие версии, чем когда-либо изучают настоящую дисциплину. Например, все школьники изучают арифметику, но лишь немногие когда-либо изучают теорию чисел. Точно так же большинство студентов, изучающих естественные науки, изучают продвинутый математический анализ, но только студенты, изучающие математику, скорее всего, будут заниматься реальным и комплексным анализом. И «доказательства» в этих более ранних формах на самом деле являются только выводами.
@RBarry: Очевидно, что большинство людей изучают вычисления и предварительную строгую математику. Это не было моей целью. Я указал, что будучи студентом-математиком, я никогда не встречал такой дострогой математики и что постстрогая стадия наступила, на мой вкус, слишком рано (а я не поклонник строгости!). Я спрашивал, есть ли у студентов-математиков в США предварительная часть в их академическом путешествии. Можно провести такое же сравнение с приготовлением пищи: «этап разогреть и съесть» против «этапа рецепта» против «этапа творческого приготовления». Вы сильно упустили мою мысль.
@AsafKaragila: Это вопрос, на который я отвечал. Если вы изучали исчисление в колледже, значит, у вас был предварительный курс. В США это делают практически все студенты-математики (студенты-математики являются частью студентов-естественников). Только после того, как у них будет исчисление, они обычно имеют право на реальный и комплексный анализ. Пост-строгость обычно не поощряется до конца аспирантуры.
@RBarry: Ах. Я понимаю. Спасибо. Я не могу сказать, что пост-строгая часть моего бакалавриата была такой же пост-строгой, как мой текущий процесс, но было заметное снижение строгости, которое требовалось на многих продвинутых курсах бакалавриата. В любом случае, я даже счастлив, что получил степень здесь, у меня нет геометрической интуиции, а предварительные расчеты не позволили бы мне получить степень! :-)
@AsafKaragila Я думаю, что недоразумение заключается в том, что в США курсы, называемые «исчислением», по сути сводятся к анализу без доказательств и просто к тому, как выполнять вычисления. Я знаю, что в Германии, а может быть, и в других европейских странах и в Израиле, нет такого понятия, как курсы "исчисления" - все преподается строго с доказательствами и называется "анализом", с первого курса. На первом курсе колледжа мне пришлось изучать многомерное исчисление, которое было более или менее без доказательств или существенной строгости. Только во время моего второго курса анализа начала проявляться строгость и доказательства.

Когда кто-то пишет/говорит о математике, в 99,99% случаев предполагаемым получателем того, что он пишет, является человек, а люди — удивительные машины: они способны использовать контекст, догадки и всевозможную другую информацию при расшифровке того, что мы пишем. /сказать. Как правило, гораздо эффективнее воспользоваться этим.

Я согласен, но при обучении ученика новой концепции, когда в сознании ученика нет контекста, абсурдно придерживаться этой привычки.
Создайте контекст, а затем злоупотребляйте им. Предполагать, что студенты не смогут справиться с небольшими злоупотреблениями в обозначениях и языке, значит недооценивать учащихся. Конечно, нужно четко указать, чем именно вы собираетесь злоупотреблять. Но представьте себе курс линейной алгебры, в котором обозначения используются для различения нулей различных векторных пространств!
@Mariano: Вы только что напомнили мне о первом курсе линейной алгебры, который я прошел, в котором в тексте были эти различия. Одно из имен, перечисленных на внутренней стороне обложки текста, было л ( 0 В ) "=" 0 Вт . («Любовь равна вл.»)
@Mariano: Вкусы разные. Во вводном курсе линейной алгебры я обычно подчеркиваю нули, чтобы обозначить их соответствующие пробелы, пока мы не углубимся в курс, и я так же осторожен во вступлении. курсы абстрактной алгебры. Я считаю, что это значительно уменьшает путаницу.
+1 Красиво сказано. Крайняя формальность вызывает у меня подозрения.
@BrianM.Scott, я думаю, что для абстрактных определений/аргументов (например, бескоординатная линейная алгебра) следует различать константные символы разных алгебраических структур. Например 0 В против 0 Вт . С другой стороны, нет необходимости явно различать функциональные символы различных алгебраических структур (поскольку их тип легче вывести, и поскольку, давайте посмотрим правде в глаза, + В выглядит не очень). Я бы сказал то же самое о конкретном случае, за исключением того, что 0 р н это бельмо на глазу...
@goblin почему тип + легче определить, чем тип 0 в любом составном выражении, содержащем 0? Или спросили по-другому: известно ли вам выражение, содержащее 0, о типе которого нельзя сделать вывод, но все же было бы уместно знать его тип, чтобы понять смысл выражения?
Когда в течение одного полного семестра вы используете несколько неправильных обозначений, я не думаю, что это хорошая идея. Я говорю не об исследованиях, а о математическом образовании. Люди способны, да, но не все могут быстро учиться. «Я делаю то, что делаю, вы не знаете, что я делаю». Если вы обучаете своих студентов или руководите ими в исследованиях, вы можете это сделать. Однако в учебной среде лучше этого избегать. Подчеркнуто: кому-то будет понятнее, а если кто-то и поймет, то сами будут злоупотреблять. Как отмечают многие, это субъективно. С большим количеством лекторов с разными вкусами, перестаньте делать головную боль.
Для «умных» или быстро обучающихся они, вероятно, будут петь «Злоупотребление нотной записью делает все проще и быстрее для понимания», но иногда (опять же, иногда) они забывают, что злоупотребление нотацией не так уж отличается от создания/добавления другой нотации к непонятным. злоупотреблял одним (хотя он и другой, но почти такой же маленький, как ϵ ).

Поскольку Бурбаки довольно занят и (пока) не является участником этого сайта, я публикую Его ответ (который Он предварительно написал около 70 лет назад) от Его имени:

Насколько это было возможно, мы обратили внимание в тексте на злоупотребление языком, без которого любой математический текст рискует стать педантичным, не говоря уже о нечитабельности.

Почему заглавная "Он"/"Его"?
@JoeZeng: в некоторых языках «Ты» пишется с большой буквы, чтобы показать уважение, поэтому я думаю, что это может быть что-то в этом роде.
Насколько я знаю, это обычно используется только для Бога.
@Joe: ах, здесь злоупотребляют обозначениями, но мы это потерпим.

Злоупотребление обозначениями допускается, когда альтернатива хуже!

В некоторых случаях злоупотребление нотацией на самом деле вовсе не злоупотребление, а просто отсутствие конкретики. Например, я уверен, что многие подумали бы

арктический ⁡ ( + ∞ ) "=" π / 2

злоупотребление обозначением, которое предназначено как сокращение для

лим Икс → + ∞ арктический ⁡ ( Икс ) "=" π / 2

Но если вы совершите короткую экскурсию в теорию расширенной реальной линии, то увидите, что тождество является буквально истинным фактом о арктический функция на расширенной вещественной прямой (которая является непрерывным продолжением арктический функция на реалах).

Я бы скорее сказал, что ли арктический ⁡ ( + ∞ ) "=" π / 2 злоупотребление обозначениями зависит от контекста. Например, в исчислении первокурсников это в лучшем случае злоупотребление обозначениями, а в худшем просто неправильное.
Это напоминает мне шесть элементарных правил Оруэлла («Политика и английский язык»), шестое из которых гласит: «Нарушь любое из этих правил скорее, чем скажешь что-нибудь откровенно варварское». (Из руководства по стилю Economist.)
@Brian: Возможно, дифференциальные формы были бы лучшим примером, поскольку студентов учат использовать их эвристически (например, интегрирование по частям, замену в интегралах) задолго до того, как они официально введены.

Как я заявил в своем комментарии/вопросе под вашим вопросом, кажется, что вы «злоупотребляете» (неправильное использование) фразой « злоупотребление обозначениями ».

В математике злоупотребление обозначениями происходит, когда автор использует математическое обозначение способом, который формально не является правильным, но который, по-видимому, упрощает изложение или предлагает правильную интуицию (хотя маловероятно, что он внесет ошибки или вызовет путаницу). Злоупотреблению обозначениями следует противопоставлять неправильное использование обозначений, которых следует избегать. Родственной концепцией является злоупотребление языком или злоупотребление терминологией, когда неправильно используется не обозначение, а термин.

В частности, я имею в виду ваше наблюдение:

Я понимаю, если позже в учебе предполагается, что вещи на месте, но существует множество учебников, предполагающих, что определенные вещи известны до их преподавания.

Здесь, мне кажется, вы жалуетесь на то, что сталкиваетесь с использованием обозначений, которые вы не понимаете и еще не встречали, и для которых автор/преподаватель явно не определил. Это НЕ злоупотребление обозначениями. Здесь вы «говорите» и СПРАШИВАЕТЕ, что имеется в виду (если в классе). В качестве альтернативы, в такой ситуации вам нужно взять на себя инициативу, чтобы понять нотацию, посмотреть, есть ли в рассматриваемом тексте приложение или индекс, определяющий нотацию, которую он использует, или вы можете обратиться к какой-либо ссылке, чтобы лучше понять символы /notation и ее различные варианты использования, которые обычно зависят от контекста.

Тем не менее, что касается того, что на самом деле подразумевается под «злоупотреблением обозначениями»: все мы люди, и математическое обозначение, как и любой язык, подвержено двусмысленности, возможно, в меньшей степени, чем естественный язык, но, тем не менее, оно все еще подвержено двусмысленности. .

Нотация также предоставляет средства для компактной передачи того, что было бы трудоемко пытаться передать другим способом, даже если ценой «злоупотребления нотацией».

В любом случае, быть человеком также означает, что обычно хорошо избегать педантизма и учиться терпеть использование//злоупотребление/неправильное использование любого языка (математического или иного) другими. Конечно, вы можете захотеть избавиться от этого, когда считаете что-то ошибочным использованием обозначений/языка (и делаете это полезным способом), но решение не терпеть это, возможно, заходит слишком далеко.

И я подозреваю, что все мы используем «кратчайшие пути», когда это удобно и когда мы можем с уверенностью предположить, что обозначения, которыми мы можем «злоупотреблять», будут поняты. Конечно, существует «тонкая грань» между использованием сокращений обозначений и полноценным «злоупотреблением» обозначениями, которые не могут передать то, что было задумано при их использовании.

@CookieMonster «В любом случае, быть человеком также означает, что обычно хорошо избегать педантизма и учиться терпеть использование//злоупотребление/неправильное использование любого языка (математического или иного) другими… решение не терпеть это возможно, заходя слишком далеко. И я подозреваю, что все мы используем «кратчайшие пути», когда это удобно и когда мы можем с уверенностью предположить, что обозначения, которыми мы можем «злоупотреблять», будут поняты. Конечно, существует «тонкая грань» между принятием преимущество сокращений обозначений и полноценное «злоупотребление» обозначениями, которое не может передать то, что было задумано при их использовании».
Без дальнейших исследований вы говорите, что я использовал нестандартную запись. Могу я показать вам следующую ссылку: ISO 31-11: ⇒ p ⇒ q знак импликации, если p, то q; p подразумевает q Можно также записать как q ⇐ p. Иногда используется →. en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 . Кажется, ты страдаешь от какой-то серьезной переоценки себя, единственное, что здесь отвлекает.

Лично я (могу говорить только за себя) терплю оскорбления, когда это помогает сделать вещи ясными и простыми (с точки зрения моей субъективной точки зрения). Иногда это можно допустить, когда ресурсов (например, времени, пространства и т. д.) недостаточно, а детали не так важны.

Правильное использование обозначений делает вещи более ясными. Предположим, что ф : Икс → Д и А ⊆ Икс . Мы можем написать

  • ф ( А )
  • { ф ( Икс ) : Икс е А }
  • Определять г : Икс ∪ п ( Икс ) → Д ∪ п ( Д ) к г ( Икс ) "=" ф ( Икс ) если Икс е Икс и г ( А ) "=" { ф ( Икс ) : Икс е А } если А ⊆ Икс . Здесь мы можем использовать оба г ( Икс ) и г ( А ) . С этим методом возникают трудности, если Икс ∩ п ( Икс ) ≠ ∅ .
Обратите внимание, что { ф ( Икс ) : Икс е А } само по себе является злоупотреблением обозначениями! Это аббревиатура от { у : ∃ Икс е А . у "=" ф ( Икс ) } .
@MJD Злоупотребление обозначениями - это рекурсивный процесс. Мы можем злоупотреблять обозначениями!
@MJD: Где потенциальная двусмысленность, которая сделала бы это злоупотреблением обозначениями, а не их расширением? Требуется некоторая осторожность, чтобы правильно определить привязку переменных и тому подобное, но я не вижу внутренней проблемы.
@dfeuer Что значит { ф ( Икс ) : Икс ≠ у } значит (где В есть вселенная дискурса)? Это { г : ∃ Икс ≠ у   г "=" ф ( Икс ) } "=" ф ( В ∖ { у } ) или { г : ∃ у ≠ Икс   г "=" ф ( Икс ) } "=" { ф ( Икс ) } (где Икс связан в первом выражении и у связан во втором)? В общем, мы можем определить это выражение только в некоторых ограниченных формах, таких как { А : Икс е Б } где А и Б являются выражениями класса и Икс является связанной переменной множества.
@MarioCarneiro: кажется, я понимаю, о чем ты говоришь. Однако это прискорбно, поскольку небольшая модификация нотации позволила бы сделать это недвусмысленным. Сравните синтаксис понимания списков языка программирования Haskell, который по существу использует альтернативный е символ (письменный ← ), чтобы указать, что здесь привязывается имя переменной.
@dfeuer В качестве другого примера, Metamath идет другим путем, определяя { Икс | ф } , { Икс е А | ф } , { ⟨ Икс , у ⟩ | ф } , и { ⟨ ⟨ Икс , у ⟩ , г ⟩ | ф } , где строчные переменные связаны в каждом случае. Вместо того, чтобы ограничивать правую часть понимания, они ограничивают левую сторону, поэтому связанные переменные однозначны. (Я думаю, что внутренняя модель, используемая математиками, { А | ф } Икс , у "=" { г | ∃ Икс , у ( г "=" А ∧ ф ) } , где Икс , у это неявный список связанных переменных, который выводится из «простой» стороны понимания.)

Я пришел к выводу, что математика (вообще все науки) — это набор нитей идей; каждая нить имеет длину не более нескольких дюймов, т. е. неполная сама по себе, но они соединяются друг с другом, как нейроны, и вместе образуют гигантский мост длиной в несколько миль. Не злоупотреблять обозначениями — это все равно, что пытаться построить мост, используя только одну нить — идеальную, самодостаточную, единую идею. Это очень контрпродуктивно и часто препятствует прогрессу.

Я думаю, что по мере того, как появляются новые идеи и новые способы мышления, любой язык, жаргон или символика также должны развиваться. Языки не были бы такими сложными, как сегодня, без элементов творчества. Люди, которые выдвигают идеи, не всегда устанавливают соглашения (например, латинские квадраты в современной комбинаторной математике обычно используют буквы или числа для представления решений, а не латинские символы, используемые Эйлером). Не перевернется ли он в гробу? Или лежащие в основе концепции математики, которые являются как символическими, так и асимволическими, будут определяющими факторами. Я считаю, что необходим сложный компромисс между традицией и инновациями и помощь людям, которые не получают ни того, ни другого, ни того и другого.

Я считаю, что именно правильные математические обозначения породили мою любовь к математике, и теперь я профессор математики. Кроме того, позвольте нам напомнить, что математика — это язык, самый лаконичный язык на сегодняшний день является поистине универсальным.

Почему допускается «злоупотребление нотацией»?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v