Есть ли аргумент в пользу использования θθ\тета-вакуума для теории Янга-Миллса, которая работает независимо от присутствия фермионов?

Question

Есть ли аргумент в пользу использования θθ\тета-вакуума для теории Янга-Миллса, которая работает независимо от присутствия фермионов?

Имя ГГГ

Рассмотрим теорию Янга-Миллса, возможно, включающую фермионы. Он имеет много возможных вакуумов $\{|n\rangle\}$ маркируется целым номером обмотки $n$ , определяемый как топологический инвариант Маурера-Картана: для калибровочного элемента $g_{(n)}$ и соответствующее унитарное преобразование большой калибровки $U(g_{(n)})$ у нас есть

| н ⟩ знак равно U ({грамм}_{(н)}) | 0 ⟩, н знак равно \frac{я}{24 π^{2}} \int_{С^{3}} г^{3} θ ϵ^{я Дж к} тр [{грамм}_{(н)} \partial_{я} {грамм}_{(н)}^{- 1} {грамм}_{(н)} \partial_{к} {грамм}_{(н)}^{- 1} грамм \partial_{к} {грамм}_{(н)}^{- 1}]

$|n\rangle = U(g_{(n)})|0\rangle, \quad n = \frac{i}{24\pi^{2}}\int \limits_{S^{3}} d^{3}\theta \epsilon^{ijk}\text{tr}\big[ g_{(n)}\partial_{i}g_{(n)}^{-1}g_{(n)}\partial_{k}g_{(n)}^{-1}g\partial_{k}g_{(n)}^{-1}\big]$ Каков наиболее независимый от теории аргумент, показывающий, что вакуум неабелевой калибровочной теории должен соответствовать

θ

$\theta$ -вакуумное состояние

| θ ⟩ знак равно \sum_{н знак равно - \infty}^{\infty} е^{я н θ} | н ⟩ ?

$|\theta\rangle = \sum_{n = -\infty}^{\infty}e^{in\theta}|n\rangle?$

Примеры аргументов, которые для меня не полны

Рассмотрим чистую теорию YM без фермионов. Чтобы рассуждать, почему мы должны использовать $\theta$ -вакуум как основное состояние, люди показывают, что гамильтониан $H$ недиагональна в базисе $\{|n\rangle\}$ : $⟨ н | ЧАС | м ⟩ ≃ е^{- \frac{8 π^{2}}{{грамм}^{2}} | н - м |}$ $\langle n|H|m\rangle \simeq e^{-\frac{8\pi^{2}}{g^{2}}|n - m|}$ и, следовательно, возможно вакуумное туннелирование. Это требует от нас диагонализации гамильтониана, и $\theta$ -вакуумный базис является диагональным базисом.

Но этот аргумент хорошо работает только тогда, когда справедливо квазиклассическое приближение, а также только если не включены безмассовые фермионы.

Однако первый аргумент действителен только для чистой теории Янга-Миллса и не работает, когда включаются безмассовые фермионы, поскольку безмассовые фермионы подавляют туннелирование. Затем люди используют аргумент, основанный на принципе кластерной декомпозиции (или CDP). Подробный аргумент показан, например, в «Структура вакуума калибровочной теории» Каллана-младшего. Один вводит сохраняющийся оператор ${\tilde{Вопрос}}_{5} знак равно \int г^{3} р ({Дж}_{0, 5} - 2 К_{0}),$ $\tilde{Q}_{5} =\int d^{3}\mathbf r (J_{0,5} - 2K_{0}) ,$ куда $K_{0}$ определяется как ${грамм}_{мю ν, а} {\tilde{грамм}}_{а}^{мю ν} знак равно 2 \partial_{мю} К^{мю},$ $G_{\mu\nu,a}\tilde{G}^{\mu\nu}_{a} = 2\partial_{\mu}K^{\mu},$ и с использованием этого заряда показывает, что VEV ненулевого оператора хиральности 2c $B(\mathbf x)$ (т.е., $[\tilde{Q}_{5}, \mathbf B(\mathbf x)] = 2c \mathbf B(\mathbf x)$ ) показывают, что ВЭВ $⟨ н | Б (Икс) Б^{†} (0) | н ⟩$ $\langle n| B(\mathbf x)B^{\dagger}(0)|n\rangle$ не удовлетворяет CDP $\underset{| Икс | \to \infty}{лим} ⟨ н | Б (Икс) Б^{†} (0) | н ⟩ знак равно \underset{| Икс | \to \infty}{лим} ⟨ н | Б (Икс) | н ⟩ ⟨ н | Б (0) | н ⟩$ $\lim_{|\mathbf x| \to \infty}\langle n| B(\mathbf x)B^{\dagger}(0)|n\rangle = \lim_{|\mathbf x| \to \infty}\langle n|B(\mathbf x)|n\rangle \langle n|B(0)|n\rangle$ The $\theta$ -вакуум - решение этой проблемы.

Но этот аргумент (детальная его часть) зависит от наличия фермионов. Именно, мы вводим киральность и оперируем оператором киральности $\tilde{Q}_{5}$ .

Чего я хочу?

Мне нужен аргумент (возможно, чисто математический), показывающий, что мы должны выбирать $\theta$ -вакуум как основное состояние теории ЯМ (если он существует) независимо от точного состава поля, в частности независимо от наличия безмассовых фермионов. Есть такой аргумент?

тпаркер

Разве Средненицкий не доказывает это (непертурбативно и без упоминания фермионов) в абзаце в середине стр. 593, просто требуя, чтобы гамильтониан был калибровочно-инвариантным?

Ответы (1)

Есть ли аргумент в пользу использования θθ\тета-вакуума для теории Янга-Миллса, которая работает независимо от присутствия фермионов?

Разве Средненицкий не доказывает это (непертурбативно и без упоминания фермионов) в абзаце в середине стр. 593, просто требуя, чтобы гамильтониан был калибровочно-инвариантным?

Томас · Answer 1

Рассмотрим евклидово Ян Миллс на $R^3\times S_1$ . Евклидова статистическая сумма представляет собой сумму по различным топологическим секторам, помеченным

д знак равно \frac{1}{32 π^{2}} \int г^{4} Икс {грамм}_{мю ν}^{а} {\tilde{грамм}}^{мю ν а}

$q = \frac{1}{32\pi^2}\int d^4 x \, G_{\mu\nu}^a\tilde{G}^{\mu\nu\, a}$ Теперь выполните преобразование Фурье относительно

q

$q$ , то есть определить статистическую сумму

Z (θ) = \sum_{q} e^{i q θ} Z_{q}

$Z(\theta)=\sum_q e^{iq\theta}Z_q$ . Если мы хотим изучить основное состояние (

T = 0

$T=0$ ) мы позволяем размеру

S_{1}

$S_1$ перейти к бесконечности. Статистическая сумма теперь будет выбирать волновую функцию основного состояния. Мы можем определить средние значения любого оператора как

⟨ θ | O | θ ⟩ \equiv \frac{1}{Z (θ)} \sum_{q} e^{i q θ} O_{q}

$\langle\theta |O|\theta\rangle\equiv \frac{1}{Z(\theta)}\sum_q e^{iq\theta}O_q$ , который эффективно определяет

| θ ⟩

$|\theta\rangle$ .

Кажется, это дает определение $\lvert \theta\rangle$ , но не аргумент, почему они должны быть «настоящим» вакуумом, а не $\lvert q\rangle$ . Не могли бы вы рассказать об этом немного подробнее?
Я просто использую тот факт, что статистическая сумма КХД включает сумму по различным топологическим секторам. Квазиклассического приближения достаточно, чтобы установить существование этих секторов, даже если количественно невозможно вычислить их вклад.
Я не сомневаюсь в существовании/определении, данном здесь, но вопрос заключается не только в том, как определить $\lvert \theta \rangle$ - это уже пишет $\lvert \theta \rangle = \sum_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\lvert n\rangle$ — но почему это «истинные» вакуумы, которые следует рассматривать как основное состояние. Вы не привели никаких аргументов, почему $Z(\theta)$ являются "лучше" вакуумными функционалами, чем $Z_q$ , если только я не упустил что-то, что вы считаете очевидным.
Статистическая сумма автоматически представляет собой сумму по всем топологическим секторам. Природа, возможно, решила взвесить их с помощью фазового фактора. $e^{i\theta q}$ , но у нас нет доказательств того, что $\theta\neq 0$ . Однако даже для $\theta=0$ у нас нет другого выбора, кроме как просуммировать по всем полям, и поэтому все $q$ .
Я понимаю. При чем тут ваше упоминание о преобразовании Фурье? Не должен ли аргумент скорее заключаться в том, что общая статистическая сумма имеет форму $\sum_q f(q) Z_q)$ и что вариант сил разложения кластера $f(q)$ быть экспоненциальным фазовым множителем через $f(q_1 + q_2) = f(q_1)f(q_2)$ ?
Я думаю, что это даже проще, чем это. У меня есть функция раздела с разными секторами q. Я могу изменить вес этих секторов или исправить средний $\langle q\rangle$ . Я делаю это, добавляя фазу $e^{i\theta q}$ , чтобы $i\langle q\rangle =\partial Z/\partial\theta$ . Я думаю, что единственное место, где вмешивается физика, это то, что в евклидовом пространстве у нас есть фаза, а не реальная экспонента (так что, поскольку q дискретно, $Z(\theta)$ является периодическим).

Есть ли аргумент в пользу использования θθ\тета-вакуума для теории Янга-Миллса, которая работает независимо от присутствия фермионов?

Имя ГГГ

тпаркер

Ответы (1)

Томас

Любопытный Разум

Томас

Любопытный Разум

Томас

Любопытный Разум

Томас

Почему суперпозиция вакуумных состояний возможна в КХД, но не в электрослабой теории?

Сохраняющийся топологический заряд для d=3 Янга-Миллса. Г=У(2)

Как четверные глюонные вершины связаны с SU(2)SU(2)SU(2) и SU(3)SU(3)SU(3)?

Почему калибровочная группа Янга-Миллса считается компактной и полупростой?

Почему мы предполагаем, что пространственный объем бесконечен?

Петли Вильсона и калибровочно-инвариантные операторы (часть 1)

Инстантон Ян-Миллс

Аксиомы Вайтмана и калибровочные симметрии

Осевая аномалия в КХД VS осевая аномалия в алгебре токов КХД

Топология калибровочной группы