Осевая аномалия в КХД VS осевая аномалия в алгебре токов КХД

Я хотел бы понять различие между осевой аномалией в КХД (тета-вакуум: аксион -> 2 глюона) и осевой аномалией тока в КХД (термин Черна-Саймонса: пион->два фотона, фотон->три пиона, . ..). Более конкретный вопрос: связана ли текущая осевая аномалия с топологическими свойствами теории наподобие «внутренней» осевой аномалии?

Если вы не понимаете вопрос, есть разъяснения по поводу "внутренней" осевой аномалии и текущей осевой аномалии (как я ее вижу):

1) Во-первых, в квантовой хромодинамике нарушение аксиальной группы$U_{A}(1)$приводит к несохранению осевого тока:

$$\begin{gather}\label{nonconservation of curent} \partial^{\mu}J_{5,\mu}=2\,i \, \bar q \, \hat m_{q} \gamma_{5} \, q+\frac{N_{f}\,g^{2}}{8\pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\,tr(G_{\mu\nu}G_{\alpha\beta}) \;\ , \end{gather}$$

где$G_{\mu\nu}$- тензор напряженности глюонного поля. Нарушение аксиальной группы связано с тем, что вакуум квантовой хромодинамики имеет сложную топологическую структуру, и это в итоге приводит к дополнительному члену в лагранжиане:

$$\begin{gather}\label{theta term} \mathcal{L}_{\theta}=\theta\frac{g^{2}}{16 \pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\,tr(G_{\mu\nu}G_{\alpha\beta}) \end{gather}$$

2) Во-вторых, кроме "внутренней", написанной выше аномалии хромодинамики, существуют внешние аномалии хромодинамики внешних токов, простейшая из которых соответствует процессу$\pi_{0}\rightarrow\gamma\gamma$:

$$\begin{gather}\label{nonconservation of curent in algebra curents} \partial^{\mu}J^{em}_{5,\mu}=2m(\bar q \, \gamma_{5} \, \tau_{3}\, q)+\frac{e^{2}}{16\pi^{2}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta} \;\ , \end{gather}$$ где $q$- кварковое поле, $F_{\mu\nu}$- напряженность электромагнитного поля. Соответствующий лагранжиан для аномалии имеет вид ( $\bar q \, \gamma_{5} \, \tau_{3}\, q=f_{\pi}m^{2}\pi_{0}$): $$\begin{gather} \mathcal{L}_{em}=-\frac{N_{c}\,e^{2}}{96 \pi^{2}f_{\pi}}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\,\pi_{0}\, \end{gather}$$

Я думаю, что это нарушение не связано с топологическими свойствами теории.

Помимо этой аномалии существует огромное количество других, например аномалия, соответствующая процессу$\gamma\rightarrow\pi\pi\pi$. Для описания всех аномалий используется действие Весса-Зумино-Виттена. Это возможно благодаря следующему утверждению: любая неабелева аномалия в четырехмерном пространстве может быть представлена ​​через действие Весса-Зумино-Виттена в пятимерном (термин Черна-Саймонса) (дополнительную информацию см . вершина для$\gamma\to3\pi$выводиться непосредственно из аномалии? , киральная аномалия в нечетных измерениях пространства-времени ).

$$\begin{align} W &=-\frac{iN_{c}}{96\pi^{2}}\int^{1}_{0}dx_{5}\int d^{4}x \epsilon^{\,\mu\nu\sigma\lambda\rho}\,Tr \Bigl[-j^{-}_{\mu}F^{\mathcal{L}}_{\nu\sigma}F^{\mathcal{L}}_{\lambda\rho}-j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{R}}_{\nu\sigma}F^{\mathcal{R}}_{\lambda\rho} \nonumber \\ &-\frac{1}{2}\,j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{L}}_{\nu\sigma}\,U(x_{5})F^{\mathcal{R}}_{\lambda\rho}\,U^{\dagger}\!(x_{5}) -\frac{1}{2}j^{+}_{\mu}F^{\mathcal{R}}_{\nu\sigma}\,U^{\dagger}\!(x_{5})F^{\mathcal{L}}_{\lambda\rho}\,U(x_{5}) \nonumber \\ &+i F^{\mathcal{L}}_{\mu\nu}\,j^{-}_{\sigma}j^{-}_{\lambda}j^{-}_{\rho}+i F^{\mathcal{R}}_{\mu\nu}\,j^{+}_{\sigma}j^{+}_{\lambda}j^{+}_{\rho} +\frac{2}{5}j^{-}_{\mu}j^{-}_{\nu}j^{-}_{\sigma}j^{-}_{\lambda}j^{-}_{\rho}\Bigl] \;\ \label{wzw} \end{align}$$