Если световые лучи подчиняются волновому уравнению, почему их можно считать прямыми?

Световые лучи — это всего лишь хороший способ описать свет в пределе очень коротких длин волн по сравнению со всеми другими масштабами длины в задаче. Это называется пределом геометрической оптики, и здесь можно решить уравнения Максвелла в так называемом эйкональном приближении, чтобы получить принцип Ферма и, таким образом, описание света световыми лучами.

Существенным моментом эйконального приближения является создание анзаца вида

$$E(\mathbf x,t)=E_0 e^{i(\chi(\mathbf x)-\omega t)}$$ для электрического поля. Здесь я игнорирую векторную природу света и полихроматические поля, но то, что следует далее, хорошо обобщается. В остальном Анзац довольно общий. В этих терминах волновое уравнение имеет вид $$-i\nabla^2\chi+\| \nabla \chi\|^2= \frac{n^2\omega^2}{c^2}.$$ Тогда эйкональное приближение состоит в пренебрежении первым членом. Это объясняется тем, что в коротковолновом пределе $\chi$содержит термин вида $\mathbf k\cdot \mathbf x$что делает $\nabla\chi$очень большой по сравнению с $\nabla^2\chi$, который измеряет пространственные изменения в огибающей и поэтому является «малым».

Как только вы это сделаете, вы получите уравнение эйконала, которое гласит:

$$\| \nabla \chi\|^2= \frac{n^2\omega^2}{c^2}.$$ (Кстати, у него есть очень интересный аналог в классической механике, уравнение Гамильтона-Якоби .) Тогда траектории световых лучей можно определить как интегральные кривые градиента $\nabla\chi$, т.е. траектории $\mathbf r=\mathbf r(s)$, параметризованный длиной пути, которые следуют $$\frac{d\mathbf r}{ds}=\frac{\nabla \chi}{n\omega/c}.$$ Эти траектории ортогональны волновым фронтам, которые представляют собой поверхности постоянной $\chi$, распространяются по прямым линиям в свободном пространстве и взаимодействуют с оптическими элементами так, как вы ожидаете: для всего мира это световые лучи.

Еще некоторые математические подробности см . в этом вопросе . Если вышеизложенное все еще слишком сложно, дайте мне знать.

Я уверен, что ответ Эмилио Писанти в порядке, +1, но он немного выше моего понимания. Оно также обращается к специфическим свойствам электромагнитных волн, тогда как лучевое приближение носит гораздо более общий характер. Вот более простой аргумент правдоподобия, который может быть больше на уровне, который может понять ОП.

Если преломить волну через щель шириной$w$, вы получите дифракционную картину с угловой шириной$\theta$порядка$\lambda/w$(в радианах). Когда$\lambda$мал по сравнению с$w$,$\theta$становится маленьким. В пределе, где$\lambda/w\rightarrow0$,$\theta\rightarrow0$, и у вас есть луч, проходящий через щель. Различные типы волн (водяные волны, звуковые волны, световые волны и т. д.) будут иметь разные детали, связанные с такими вещами, как поляризация, но ничто из этого не влияет на приведенный выше аргумент.

Если это так, то оно должно подчиняться волновому уравнению, а мне кажется, что оно не описывает прямолинейный луч.

Верно. Идеально коллимированный параллельный цуг волн никогда не может быть решением волнового уравнения. Однако дифракционная картина с очень малой угловой шириной может быть решением, и если ширина достаточно мала, она неотличима от параллельного цуга волны.