Объяснение каустики лучей в E&M

В Википедии каустика определяется следующим образом.

В оптике каустика — это оболочка световых лучей, отраженная или преломленная искривленной поверхностью или объектом, или проекция этой оболочки лучей на другую поверхность.

Вы можете думать о огибающей семейства кривых как о кривой, касательной к каждой из них.

Вот диаграмма на странице 60 «Трактата об оптике» Дэвида Брюстера, опубликованного в 1831 году.

Есть источник света на$R$и лучи отражаются круглой поверхностью$MN$хотя только лучи, отраженные от части$MB$показаны.
Угол падения равен углу отражения для каждого из лучей.
Ни один из лучей не встречается с главной осью в одной и той же точке, хотя те, которые падают на отражающую поверхность в точках$B, 1, 2$и$3$сделать это примерно и вот где изображение предмета$R$сформирован.
Вогнутое зеркало страдает дефектом зеркала, называемым сферической аберрацией.

Теперь, если вы посмотрите на все лучи в верхней половине, они определяют область без света и область, где есть свет, и, в частности, есть оболочка, показанная красным на боте в верхней половине, которая определяет места, где лучи по касательной - это каустическая кривая, и вот фотография одного из них, хотя вы вполне можете видеть его очень часто в своей чашке кофе или чая?

Каустическая кривая особенно заметна, потому что она ярче, потому что через эту область проходит больше лучей, чем через другие области вокруг отражателя.

На диаграмме выше половина воображаемой каустики окрашена в синий цвет.
Это достигается перемещением объекта на другую сторону отражателя.$MBN$так что он действует как выпуклое зеркало. Отраженные лучи расходятся, но при возвращении образуют синюю воображаемую каустику.$Nf'M$.

В последние годы каустики использовались для поиска экзопланет.

Звезда и вращающееся вокруг нее растение действуют как гравитационная линза и образуют каустику в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты Земли вокруг Солнца, которая показана синим цветом на левой диаграмме.
Когда орбита Земли (показана красным) пересекает каустику, интенсивность света, возникающая в результате каустики, изменяется, как показано на графике зависимости интенсивности от времени.
Хотя форма каустики очень сложна, сама сложность означает, что из каустики можно получить информацию о звезде и ее экзопланете.
Курс edX «Астрофизика ASTRO2x: изучение экзопланет» является хорошим введением в этот и многие другие эффекты, которые используются для обнаружения экзопланет и их свойств.

Ваше понимание реальной каустики (полагаю, вы называете ее реальной, а не воображаемой каустикой, о которой вы упомянете позже) верно.

Сначала легкая часть: воображаемая каустика — это каустика, расположенная на продолжении световых лучей за пределы оптической системы, из которой они исходят. Например, при наличии выпуклой линзы за самой линзой могут образовываться мнимые каустики.

Затем более сложная часть. Геометрическую оптику можно развивать в предположении, что длина волны (для монохроматической волны)$\lambda$намного меньше, чем любая другая физическая длина в процессе. В этом случае можно показать, что все физические величины пропорциональны

где функция$\psi$является фазой волны. Поверхности с$\psi =$постоянными являются волновые поверхности, а каустики — это области (если они есть), которые достигаются (по крайней мере) двумя различными волновыми поверхностями, скажем, одной с$\psi = \psi_1$и один с$\psi=\psi_2$. Эта математическая характеристика носит глобальный, а не локальный характер, поскольку искривление световых лучей может происходить как локально, так и удаленно, и тогда пути фотонов пересекаются.

Есть и другая характеристика каустик с помощью углового эйконала : если вам интересно, вы можете найти его в Теории поля Ландау и Лифшица. Показано, что в этом случае нахождение каустик эквивалентно нахождению нескольких решений системы четырех уравнений.

Наконец, вы правы в том, что вблизи каустик геометрическая оптика нарушается; на самом деле, когда лучи пересекают каустики, происходит это милое маленькое явление, при котором их фаза изменяется ровно на$-\pi/2$, что, конечно, необъяснимо в геометрической оптике. Снова см. остроумное объяснение Ландау и Лифшица.