Что делает координату искривленной?

Что ж, судя по презентации, которую вы сделаете, у вас будет$\frac{d^{2}x^{i}}{d\tau^{2}}\neq 0$, потому что у вас есть те$\Gamma_{0i}{}^{j}$условия. Например${\ddot y} + 2\frac{\dot a}{a}{\dot y}{\dot t} = 0$(Я злоупотребляю обозначениями и подразумеваю очевидные вещи точками, но, очевидно,$a = a(t(s))$и$y=y(s)$)

Условие, которое вы хотите, это$\Gamma_{\mu\nu}{}^{i} = 0$, хотя бы с одним$\Gamma_{\mu\nu}{}^{0}\neq 0$. Я уверен, что есть метрики, удовлетворяющие этому условию, но я не знаю ни одной (нетривиальной${}^{1}$) не пришло мне в голову.

РЕДАКТИРОВАТЬ: обратите внимание, что даже минимально связанная метрика «пертурбативного сферического потенциала»$ds^{2} = -(1-2\Phi(r))dt^{2} + dr^{2} + r^{2}d\theta^{2} + r^{2}\sin^{2}\theta d\phi^{2}$будет иметь ненулевую компоненту для$\Gamma_{tt}{}^{r}$, поэтому может быть немного сложно найти нетривиальный пример.

${}^{1}$Например, вы можете определить$g_{ab} = -f(t)dt^{2} + \delta_{ij}dx^{i}dx^{j}$. Это будет иметь ненулевое значение для$\Gamma_{tt}{}^{t}$, но это пространство на самом деле просто пространство Минковского, потому что оно может быть заменено на него заменой$T = \int \sqrt{f(t)}dt$

Чтобы многообразие было искривленным (внутренняя кривизна), оно должно иметь размерность$\geq 2$, а это означает, что по крайней мере две главные кривизны должны быть отличны от нуля, так как кривизна Гаусса является их произведением. Как вы выразились, это невозможно сделать только с одним искривленным базисным вектором или измерением; на самом деле нет никакого способа определить внутреннюю кривизну в измерении 1, окружность имеет внутреннюю кривизну 0.

Другой способ увидеть это, более строгий, следующий. Для глобально гиперболического пространства-времени$(M,g_{ab})$размерности 4 с вектором времени (физически релевантным) всегда можно выполнить декомпозицию ADM, что означает, что$M = \mathbb{R} \times \Sigma_t$для$\{t\} \subseteq \mathbb{R}$и$\Sigma_t$— пространственная гиперповерхность слоения. Если$\Sigma_t$плоско, то уравнение Гаусса-Кодацци

$$^{(3)}R_{abc}{}^d = h_a{}^f h_b{}^g h_c{}^k h^d{}_j R_{fgk}{}^j - K_{ac} K_b{}^d + K_{bc} K_a{}^d,$$ с $K_{ab}$внешняя кривизна $\Sigma_t$и $h_{ab}$его метрика, которая также действует как проекционный оператор в виде $h_a{}^b$, подразумевает, что если $\Sigma_t$плоский( $^{(3)}R_{abc}{}^d =0$, $K_{ab} \equiv h_a{}^c \nabla_c n_b =0$, с $n_a$единица, нормальная для $\Sigma_t$), то так и есть $M$.

Думаю лучше рассуждать из тензора кривизны$R_{ab}{}^\mu{}_\nu$. Это определяется

$$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a)x^\mu$$ так что он говорит вам, в какой степени ковариантные производные вдоль $a$и $b$оси не коммутируют. Формально из этого видно, что кривизна требует двух измерений, поэтому говорить об искривленной координате не имеет особого смысла . Не имеет смысла говорить «кривизна в $t$-направление", это всегда "кривизна в $tx$-плоскость". Вы должны говорить о криволинейном срезе : если вы можете найти две координаты, такие что $$R_{12}{}^\mu{}_\nu = 0$$ в некоторой области поверхности, определяемые $x^0 = t_0, x^3 = z_0$плоские, в противном случае они изогнуты.

Предыдущее в общем случае. Случай FLR немного особенный, поскольку вы можете найти трехмерные плоские срезы. Поскольку пространство-время четырехмерно, любая плоскость, в которой кривизна не обращается в нуль, должна содержать оставшееся ортогональное направление, которое является$t$-направление.

Мне кажется, хорошей отправной точкой является геодезическое уравнение: [...]

Это, по-видимому, относится к какой-то конкретной (образу) кривой$\gamma$; действительно к некоторой конкретной времениподобной кривой$\gamma$для которого

$$\int_{\gamma} d \tau = \Delta \tau \mid_{\gamma} ~ \gt 0.$$

Даны две (не обязательно различные) (изображения) времяподобных кривых$\gamma$и$\psi$соответствующее действительное числовое значение отношения

$$\int_{\gamma} d \tau ~ / ~ \int_{\psi} d \tau$$

является, конечно, геометрической величиной и не зависит от какого-либо конкретного присвоения (если таковое имеется) наборов координат этим двум (образам) кривых или данному набору событий в целом.

Итак, метрика, в которой только координата времени,$x^0$, изогнута будет такой, в которой:

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$[...]

Если координата времени,$x^0$, ставится в соответствие заданному (образу) времениподобной кривой$\gamma$такой, что

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 = 0$

тогда задание называется «хорошим» (ср. МТЗ рис. 1.9) или «аффинным» (МТЗ § 10.1); особенно если речь идет о геодезических кривых.

И наоборот, если временная координата$x^0$, назначается так, что

$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0 \neq 0$, или такой, что производная$\frac{d^2}{d\tau^2}x^0$вообще не существует,
то присвоение, следовательно, будет называться «плохим» или «не аффинным».

(Присвоение других «космических» координат можно обсудить отдельно.)

Напротив, кривизна - это геометрическая характеристика данного набора событий (или кривых как подмножеств данных событий); и, таким образом, не зависит от какого-либо конкретного назначения (если таковое имеется) кортежей координат.