Что имеется в виду, когда говорят, что система имеет константы движения NNN?

Например, для изолированной системы энергия Е сохраняется. Но тогда любая функция энергии (например, Е 2 , грех ⁡ Е , л н | Е | Е 42 д.), тоже сохраняется. Поэтому можно составить бесконечно много сохраняющихся величин, просто используя закон сохранения энергии.

Почему же тогда обычно можно услышать о «системе, имеющей Н константы движения»? «Система, имеющая только одну постоянную движения»?

Мне пора бежать, так что пока небольшой комментарий. Существует неявное понятие независимости. Если вы можете выразить одну из констант как функцию других, то она зависима. Например, при работе с симплектическим многообразием это означает, что потоки (векторные поля, соответствующие сохраняющимся величинам) Н -мерное векторное пространство в каждой точке. Т.е. они образуют Н -плоскостное распределение .
оу, @Marek, ты не мог ответить быстро?
@David: нет, потому что это не полный ответ, поэтому мне он кажется неправильным. Во-первых, речь идет только о классической механике. Можно еще добавить о квантовой механике (и связи с взаимосовместимыми наблюдаемыми) и т. д. Я постараюсь дать более полный ответ позже.
Понятие (не)зависимости уже было объяснено Мареком выше. Таким образом, из всех функций f(E) следует выбрать только одну. Я бы только добавил, что в системах многих тел обычно требуется, чтобы сохраняющийся заряд был аддитивным (ради термодинамического предела). Это выбирает сам E или его кратное.
@Marek: +1 за комментарий; пожалуйста, сделайте фактический ответ в ближайшее время!

Ответы (3)

Может быть, стоит отличать независимые интегралы движения от функций интегралов движения? См. уравнения (2) и (3) в моем посте . Количество независимых констант движения ограничено количеством независимых начальных данных (если задача корректна).

РЕДАКТИРОВАТЬ: еще один способ понять это - подсчитать независимые степени свободы системы.

Предположим (для простоты в этом вопросе), что гамильтониан H не зависит от времени. Тогда любая функция f, у которой скобка Пуассона с H {f, H}=0, является константой движения. Также теорема Пуассона состоит в том, что если обе f, g являются константами движения, то {f, g} порождает еще больше констант движения.

Уточнение состоит в том, что функции f, g здесь определяют канонические замены переменных, поэтому нас интересуют только те, которые заменяют п я и д я с новыми координатами ( п я , Вопрос я ) . Их будет не более 2N.

Идеальная договоренность состоит в том, чтобы вызвать как можно больше Вопрос я как можно меньше из (преобразованного) гамильтониана ЧАС "=" ЧАС ( п я , Вопрос я ) , доступно только N максимум. Таким образом, да, многие «константы движения» будут функциями друг друга (аналогично тому, что в качестве координат доступны не только x (q), y (p), но также x + y, Икс 2 и т. д.), но желательно использовать только те, которые приводят к более простому гамильтониану.

В классической механике есть семь фундаментальных аддитивных констант движения, это энергия и три составляющие импульса и углового момента. Другими словами, каждая константа движения, С , можно однозначно записать как:

С "=" а 1 Е + а 2 п Икс + а 3 п у + а 4 п г + а 5 л Икс + а 5 л у + а 7 л г

Доказательство этого факта можно найти у Ландау, т. 1.

Что имеется в виду, когда говорят, что система имеет константы движения NNN?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v