Какая форма уравнений Максвелла является основной, интегральная или дифференциальная?

Если дифференциальная форма фундаментальна, мы не получим никакого тока, но интегральная форма фундаментальна, мы получим ток.

Не знаю, как вы пришли к такому выводу, но это неправда. И дифференциальная, и интегральная формы уравнений Максвелла говорят об одном и том же . Любое из них может быть получено из другого, и оба они предсказывают одни и те же физические последствия в любой ситуации.

Большинство физиков сказали бы, что дифференциальная форма более фундаментальна, но это всего лишь артефакт того, как мы думаем о современной физике с точки зрения полей, которые взаимодействуют в определенных точках. Это действительно философский вопрос, а не физический, потому что для целей вычислений не имеет значения, какую форму вы считаете более фундаментальной.

В конкретной ситуации, о которой вы спрашиваете, с соленоидом вы получите ток в петле вокруг соленоида. Это может быть легче увидеть, используя интегральную форму закона Фарадея, но дифференциальная форма дает точно такое же предсказание.

Позвольте мне продемонстрировать это явно. Предположим, у вас есть идеальный соленоид радиуса$r_0$, с$n$витков на единицу длины, ориентированных вдоль$z$ось. Его магнитное поле определяется выражением

$$\vec{B} = \begin{cases}\mu_0 n I\hat{z} & r < r_0 \\ 0 & r > r_0\end{cases}$$

Как вы заметили, это означает, что$\nabla\times\vec{E} = 0$вне соленоида. Теперь вы можете подумать , что это подразумевает интеграл$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell$вокруг петли вне соленоида, которая дает ЭДС, должна быть равна нулю. Но на самом деле это не так. Отношение между$\nabla\times\vec{E}$а также$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell$исходит из теоремы Стокса и гласит

$$\oint_{\mathcal{C}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell = \iint_{\mathcal{S}}(\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}^2\vec{A}$$

Таким образом, линейный интеграл вокруг петли определяется завихрением$\vec{E}$ везде внутри контура, в том числе и внутри соленоида, где

$$\nabla\times\vec{E} = -\mu_0 n \frac{\partial I}{\partial t}\hat{z}\quad(r < r_0)$$

Выполнение интеграла дает вам

$$\mathcal{E} = \oint_{\mathcal{C}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell = \iint_{\mathcal{S}}(\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}^2\vec{A} = -\int_0^{2\pi}\int_{0}^{r_0}\mu_0 n \frac{\partial I}{\partial t}\hat{z}\cdot r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\hat{z} = -\mu_0 \pi r_0^2 n\frac{\partial I}{\partial t}$$

так что вы можете видеть, что любой переменный во времени ток в соленоиде создаст ЭДС и индуцирует ток.

Ни интегральное, ни дифференциальное представление не являются более фундаментальными; можно прийти к любому из теорем векторного исчисления. Наиболее элегантная формулировка уравнений Максвелла использует дифференциальные формы (в смысле дифференциальной геометрии). С потенциальной 1-формой$A$, мы можем построить тензор напряженности поля$F = \mathrm{d} A = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$и уравнения Максвелла становятся:

$$\mathrm{d} F =0, \, \, \, \, \delta F =0$$

куда$\delta = \star \mathrm{d} \star$, обычно называемый кодифференциалом и оператором$\star$является двойственным по Ходже.

Можно определить, что является фундаментальным, а что производным, в зависимости от того, составляют ли они определение количества.

$\nabla\cdot D = \rho$является фундаментальным, поскольку это современный способ определения поля, подобного потоку. К этому добавляются уравнения$F=EQ$а также$D=\epsilon E$, которые, хотя и не являются частью классических четырех уравнений, по-разному добавляются в сторону.

$\nabla\cdot B=0$Это утверждение об отсутствии магнитных зарядов было получено путем сначала предположения о магнитном заряде, а затем доказательства его отсутствия.

$\nabla\times E = -\tau B$является производным отношением, так как в этом отношении ничего не определено. Это закон индукции Фарадея.

$\nabla\times H = \tau D + J$также выводится, поскольку все$H$,$D$, а также$J$получаются в другом месте. Подсказка: уравнения со сложениями обычно являются производным равенством.

Лео Янг ​​(Система единиц в электричестве и магнетизме) говорит нам, что нужно восемь уравнений, чтобы уравнения Максвелла работали как основа для электромагнетизма. Шесть были показаны выше. Нужно также$B = \mu H$а также$F = I \times B$, чтобы вывести электромагнетизм.

Поскольку Лео Юнг обращался к теории, которая согласуется как с гауссовой СГС, так и с системой СИ, он использует дополнительные константы S и U, которые установлены равными единице в системе СИ, но принимают значения$S=4\pi$а также$U=1/c$в CGS One эти числа просто складываются в уравнение SI, так что при замене возникают формулы cgs.

Оливер Хевисайд, который первым изложил теорию ЭМ, начав с уравнений Максвелла, не предполагал автоматически$\nabla\cdot B=0$, но$\nabla\cdot B = m$, куда$m$- точечная плотность магнитного заряда. Это влияет$\nabla\times E$также.