Если трехвекторное электрическое и магнитное поля исходят из четырехкомпонентного четырехпотенциала, то существует ли четвертая составляющая электрического и магнитного поля?
Я отправил следующий вопрос: Каково физическое значение дипольного преобразования уравнений Максвелла? . Я помню, когда-то давно я записал уравнения Максвелла, пересек поля с вектором положения и смог преобразовать уравнения Максвелла из монопольного источника заряда в нечто, похожее на уравнения поля с дипольным источником. Когда я сделал это, в уравнениях поля обнаружился странный четвертый компонент, который, я думаю, может быть связан с этим вопросом.
Собственно, электрическое и магнитное поля составляют один объединенный тензор, называемый тензором электромагнитного поля . Это тензор ранга 2 и имеет вид *
Вы также можете вывести уравнения Максвелла через тензор, применив к этому. Закон Гаусса и закон Ампера исходят из
Я астрофизик, поэтому использую единицы СГС; в системе СИ все электрические поля имеют коэффициент .
Чтобы ответить на этот вопрос, вам нужно иметь полное геометрическое представление об уравнениях Максвелла и о том, что они представляют.
Уравнения Максвелла представляют собой простую систему УЧП. В нотации STA это просто
Мы принимаем как должное, что является бивектором и, следовательно, имеет 6 компонентов, и что является вектором и, таким образом, имеет 4 компонента. Но это уравнение описывает до восьми отдельных уравнений. Почему это?
Для произвольного бивекторного поля , производная могут иметь как векторные, так и тривекторные члены. То, что уравнения Максвелла имеют только векторный исходный член, на самом деле весьма важно: это часть физического содержания уравнений Максвелла. Мы говорим, что электромагнитное поле определяется только векторным током.
Что произошло бы, если бы существовал тривекторный источник тока? Это будет «магнитный» заряд (магнитные монополи) и связанный с ним ток. Итак, мы сразу можем оценить, что обозначает этот исходный термин.
Но подождите, есть еще! Скажем, тогда у нас были и электрические, и магнитные токи. Какие поля могли их произвести?
Как вы пытались понять, это две другие компоненты поля, которые могут войти в это дифференциальное уравнение. Это скалярное поле и псевдоскалярное поле. Я не знаю, как эти поля будут проявлять себя или что они будут делать.
Так почему бы нам не узнать?
Позволять — скалярное поле. Как это повлияет на уравнения Максвелла только с текущим исходным членом?
Позволять , где я неявно обозначил, что магнитное поле является бивектором . Вместо этого вы можете определить его как вектор, а затем рассмотреть , но чистый эффект довольно минимален.
Уравнения Максвелла затем распадаются как
а также
Добавление скалярного поля повлияет только на векторную часть с ее градиентом:
Так что в целом это, вероятно, выглядело бы как какой-то дополнительный ток, не связанный с движением электрических зарядов, или, возможно, каким-то образом он был бы неотличим от электрических токов, за исключением того, что он пронизывает все пространство как непрерывная функция. Казалось бы, в каком-то смысле везде есть какие-то токи. Вы можете понять, почему мы даже не рассматриваем существование такого поля. Если бы он не был очень маленьким, мы бы обнаружили его некоторое время назад, так как он взаимодействует с источником электрического тока.
Анализ магнитного псевдоскалярного поля, вероятно, закончился бы тем же путем.
Итак, действительно ли в тензоре Фарадея отсутствуют две дополнительные компоненты: скалярное поле и псевдоскалярное поле? Я бы сказал нет , но если вы обнаружите обратное, вы, вероятно, получите Нобелевскую премию. Удачи с этим. Как я сказал в другом вопросе, не обманывайте себя , думая, что только потому, что имеет восемь компонентов, отсутствуют компоненты поля Фарадея. Скорее всего, таких недостающих компонентов нет. Вы можете увидеть это, рассмотрев, что эти компоненты будут делать в ванильных уравнениях Максвелла, как я сделал здесь.
Изменить: некоторые исправления в отношениях между этим скалярным полем и фиксацией датчика.
Это скалярное поле лишит свободы изменения калибровочными преобразованиями, как уточнил бы расхождение . Напомним, что фиксация калибровки зависит от способности выполнять преобразование, т.е.
Для некоторого скалярного поля . Это можно сделать, потому что , поэтому поле EM не изменяется.
Но если , то добавление градиента скалярного поля изменит значение измеримо, во всех случаях, кроме самых простых:
Теперь вы будете ограничены калибровочными функциями которые строго гармоничны. Гармонические поля обычно возникают из-за некоторого выбора граничных условий, т. е. это соответствует некоторому выбору граничных условий, а вклад полей от токов не меняется. Конечно, это напрягает воображение, чтобы представить, как можно было бы разумно сделать это для фиксации калибра. И если вы нашли преобразование, которое сохраняет , не оставил бы инвариант в общем.
Таким образом, предполагаемое существование этой функции будет иметь серьезные последствия для фиксации калибра. Это не совсем запрещает это, как я изначально думал, но накладывает серьезные ограничения на исправление, с которыми мы, вероятно, уже столкнулись бы.
Это более расширенный комментарий для комментариев к ответу Кайла.
Например, если бы в электрическом и магнитном поле существовала временная составляющая.
В релятивистском контексте компоненты электрического и магнитного полей не являются компонентами отдельных связанных векторных полей, а скорее являются компонентами тензорного поля 2- го ранга; электрическое и магнитное поля являются частью одного геометрического объекта, а не двух.
Действительно, ключ к этому можно найти в том факте, что магнитное поле в трехмерном пространстве является псевдовекторным полем, а не векторным полем.
Так что на самом деле вопрос «что такое временная составляющая электрического и магнитного поля» на самом деле предполагает ложь ; он предполагает, что электрическое и магнитное поля являются отдельными, но связанными четырехвекторами.
Но это не так .
Поскольку тензор ранга 2 имеет два индекса, мы можем правильно говорить о компоненте времени-времени , компонентах времени-пространства и компонентах пространства-пространства тензора, но не компоненте (ах) времени или пространства .
Сократите тензор Фарадея и его двойственный тензор с 4-скоростью. В единицах ,
куда .
В локальной системе Лоренца (с ), 4-скорость может быть записана , а электрические и магнитные 4-векторы можно записать в более привычных обозначениях,
Фарадей -тензор описывающая напряженность электромагнитного поля, является антисимметричной, поэтому в размеры для любых дополнительных компонентов, кроме электрические и магнитные. Это просто, но почему оно антисимметрично?
Намек на природу электромагнитного поля можно найти, если выразить уравнения Максвелла через тензор Фарадея и тензор Максвелла :
Что примечательно в этой форме, так это то, что ни одно из уравнений Максвелла вообще не заботится о метрике пространства-времени. Скорее, метрика появляется как часть звезды Ходжа в отдельном законе, связывающем тензоры Максвелла и Фарадея:
Если трехвекторное электрическое и магнитное поля исходят из четырехкомпонентного четырехпотенциала, то существует ли четвертая составляющая электрического и магнитного поля?
Теперь давайте превратим приведенное выше наблюдение в аргумент. Электромагнетизм — это не гравитация, поэтому, хотя в какой-то момент нам может понадобиться метрика, чтобы превратить ее в полностью предсказательную теорию, мы должны иметь возможность представить уравнения, описывающие само электромагнитное поле, в форме, независимой как от метрики, так и от связи. Следовательно, уравнения электромагнетизма должны иметь смысл, даже если пространство-время не имеет ни метрики, ни связи. Что осталось помимо топологии , так это дифференциальная структура .
Вывод: Электромагнетизм должен описываться дифференциальными формами, а дифференциальные формы соответствуют ковариантным антисимметричным тензорам. В габариты, количество независимых компонентов -форма . Таким образом, если мы знаем, что электрические и магнитные поля смешиваются при преобразованиях по системам отсчета и, следовательно, должны быть частями одного и того же тензора/ -форма, общее количество компонентов для должен быть одним из .
Имея как для электрического, так и для магнитного поля , так что это не идет.
Кстати, если мы также уже знаем, что напряженность поля -форма имеет потенциал, , тогда должен быть -form и иметь четыре независимых компонента... но мы не должны были ожидать, что вся эта кажущаяся свобода будет в первую очередь физической, потому что для любого -форма с производит то же самое . Обратите внимание, что подразумевает, что , что является законом Гаусса для магнетизма и законом индукции Фарадея.
Ответы Альфреда Центавра и Кайла Каноса содержат утверждения о фактах, но в задаче скрыта более скрытая геометрия. Это правда, что векторы электрического и магнитного поля не являются истинными векторами, а скорее псевдовекторами, как заявил Альфред Центавр, которые принадлежат тензорам поля ранга 2, как заявил Кайл Канос. Однако Кайл Канос упомянул, что поля получены из внешних расчетов. , что говорит о том, что ЭМ-поля можно понимать как возможные бивекторы четырехмерного пространства https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector . Используя переназначение двойного hodge https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_dual , можно было бы переназначить компоненты бивектора на четыре компонента четырехвектора пространства-времени, чтобы сократить нотацию. Это подразумевало бы возможный четвертый компонент ЭМ-поля.
линуксфрибёрд
Кайл Канос
Муфрид
Муфрид
линуксфрибёрд
Муфрид
Муфрид
линуксфрибёрд
Муфрид