Вывод постньютоновского (PN) выражения для ускорения в геометрии Шварцшильда

Question

Вывод постньютоновского (PN) выражения для ускорения в геометрии Шварцшильда

Румпельстилскин

Выражение для ускорения околоземного спутника, представленное в Технической записке IERS, имеет вид

\begin{matrix} (1) & \frac{д^{2} р}{д т^{2}} "=" \frac{г М_{Е}}{с^{2} р^{3}} {[2 (β + γ) \frac{г М_{Е}}{р} - γ \dot{р} \cdot \dot{р}] р + 2 (1 + γ) (р \cdot \dot{р}) \dot{р}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[2(\beta+\gamma)\frac{GM_E}{r} - \gamma \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 2(1+\gamma)(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Мы работаем в параметризованном постньютоновском формализме, поэтому безразмерные константы $\beta,\gamma$ .

Из того, что я могу почерпнуть отсюда и отсюда , это выражение может быть получено из «изотропной точечной метрики массы одного тела Шварцшильда».

Теперь я знаю, как выглядит метрика Шварцшильда в изотропных координатах, но я не вижу, где уравнение. ( $\ref{eq:problemeq}$ ) происходит от.

Еще одно замечание: в ОТО безразмерные параметры $\beta,\gamma$ равны единице, и при подстановке выше дает хорошо известную формулу прецессии Шварцшильда, которая дается выражением

\begin{matrix} (1) & \frac{д^{2} р}{д т^{2}} "=" \frac{г М_{Е}}{с^{2} р^{3}} {[4 \frac{г М_{Е}}{р} - \dot{р} \cdot \dot{р}] р + 4 (р \cdot \dot{р}) \dot{р}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq2} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[4\frac{GM_E}{r} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 4(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Опять же, я этого тоже не помню.

Какие-либо предложения?

N0va

Происхождение этого выражения кажется довольно сложным. Я просмотрел различные ссылки в Техническом примечании IERS № 36 и резолюциях AU B1.3 и B1.4 (2000 г.) и лучшей отправной точкой, которую я смог найти, являются [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] экв. (3) и ссылки на него [Will 1993] и [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .

Румпельстилскин

Это определенно довольно сложно. Я не ожидаю, что это будет сделано за один присест :) На охоте за некоторыми ресурсами, которые можно понять. Я нахожу парней старой школы PN довольно трудными для понимания!

Михай Б.

Экв движения для вашего случая

\frac{d^{2} x^{σ}}{d s^{2}} = Γ_{μ ν}^{σ} \frac{d x^{μ}}{d s} \frac{d x^{ν}}{d s}

$\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Просто подключите метрический тензор Шварцшильда

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ в

Γ_{μ ν}^{σ} = 1 / 2 g^{σ α} (\frac{\partial g_{μ α}}{\partial x_{ν}} + \frac{\partial g_{ν α}}{\partial x_{μ}} - \frac{\partial g_{μ ν}}{\partial x_{α}})

$\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ и сделать математику на экв движения. Это, я полагаю, самый простой подход.

Румпельстилскин

@МихайБ. К сожалению, это не сработает. Это то, что вы сделали бы в полностью релятивистской структуре. Однако это выражается в терминах формализма PPN.

Дэвид Хаммен

Это очень похоже на форму, используемую в Yeomans, DK, et al. «Определение кометной орбиты и негравитационные силы». Comets II (2004): 137-151, которые ссылаются на Anderson JD, et al. «Экспериментальная проверка общей теории относительности с использованием данных о временной задержке от Mariner 6 и Mariner 7». Астрофиз. Дж., 200, 221–233. Единственное отличие заключается в использовании гравитационной постоянной Гаусса.

k

$k$ вместо

G M_{E}

$GM_E$

СтивОу

Где в Техническом примечании IERTS появляется ваш eqtn(1)? Их уравнение (10.12) на стр.155 похоже, но содержит дополнительные члены.

Ответы (1)

Вывод постньютоновского (PN) выражения для ускорения в геометрии Шварцшильда

Происхождение этого выражения кажется довольно сложным. Я просмотрел различные ссылки в Техническом примечании IERS № 36 и резолюциях AU B1.3 и B1.4 (2000 г.) и лучшей отправной точкой, которую я смог найти, являются [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] экв. (3) и ссылки на него [Will 1993] и [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .
Это определенно довольно сложно. Я не ожидаю, что это будет сделано за один присест :) На охоте за некоторыми ресурсами, которые можно понять. Я нахожу парней старой школы PN довольно трудными для понимания!
Экв движения для вашего случая $\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Просто подключите метрический тензор Шварцшильда $g_{\mu\nu}$ в $\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ и сделать математику на экв движения. Это, я полагаю, самый простой подход.
@МихайБ. К сожалению, это не сработает. Это то, что вы сделали бы в полностью релятивистской структуре. Однако это выражается в терминах формализма PPN.
Это очень похоже на форму, используемую в Yeomans, DK, et al. «Определение кометной орбиты и негравитационные силы». Comets II (2004): 137-151, которые ссылаются на Anderson JD, et al. «Экспериментальная проверка общей теории относительности с использованием данных о временной задержке от Mariner 6 и Mariner 7». Астрофиз. Дж., 200, 221–233. Единственное отличие заключается в использовании гравитационной постоянной Гаусса. $k$ вместо $GM_E$
Где в Техническом примечании IERTS появляется ваш eqtn(1)? Их уравнение (10.12) на стр.155 похоже, но содержит дополнительные члены.

Агерхелл · Answer 1

Я вижу, что вы ссылаетесь на мою старую статью. Что ж, в своей статье я ссылался на другую из двух ваших ссылок, книгу Лаборатории реактивного движения. В этой книге есть выражение под номером 4-26 на странице 4-19, которое сводится к выражению, которое вы написали выше, в случае одной статической большой массы и одного маленького «пробного тела». Вывод выражения 4-26 представлен на страницах с 4-22 по страницу 4-24 в той же книге Лаборатории реактивного движения. Вывод немного выше меня, я должен сказать, но все же.

https://descanso.jpl.nasa.gov/monograph/series2/Descanso2_all.pdf

Изменить. Я просто хотел добавить, на случай, если кто-то придет сюда в поисках выражения, что приведенное выше выражение хорошо работает только в пределе слабого поля. Как видно, он аппроксимирует ОТО введением двух членов, зависящих от скорости, и одного члена обратного куба с отталкиванием. Это плохо работает в режиме сильного поля. По мере того, как отталкивающий термин становится сильнее по мере того, как вы приближаетесь к черной дыре, происходит «подпрыгивание». В приведенных ниже симуляциях зеленый кружок представляет радиус Шварцшильда, а красный кружок - радиус «самого внутреннего стабильного кругового радиуса». Как видно из этого поста , постньютоновское расширение доступно и на уровне 3PN, включая больше терминов. Возможно, это выражение будет лучше работать в более сильных полях.

Ценю ответ и информацию. Я это уже давно понял ;)

Вывод постньютоновского (PN) выражения для ускорения в геометрии Шварцшильда

Румпельстилскин

N0va

Румпельстилскин

Михай Б.

Румпельстилскин

Дэвид Хаммен

СтивОу

Ответы (1)

Агерхелл

Румпельстилскин

Аспект массы Бонди [дубликат]

Как получить компоненты метрического тензора?

Что не так с предложенным Абрахамом законом силы в первой теории гравитации Нордстрема?

3PN и постньютоновское приближение Шварцшильда более высокого порядка

Связь фермионов с гравитацией

Линеаризация гравитации до O (h3) O (h3) {\ cal O} (h ^ 3)

Каковы современные приложения ОТО для Солнечной системы, где методы аппроксимации не работают? [закрыто]

Дисперсия света в гравитационных теориях

Искаженная геометрия AdS

Ссылки по космологической теории возмущений в формализме АДМ [закрыто]