3PN и постньютоновское приближение Шварцшильда более высокого порядка

Это выражение можно найти в документации JPL, определяющей релятивистское ускорение в условиях Шварцшильда в евклидовом приближении, которое они используют для расчета орбит небесных тел:

г в ¯ г т "=" − г М р 2 ( 1 − 4 г М р с 2 + в 2 с 2 ) р ^ + 4 г М р 2 ( р ^ ⋅ в ^ ) в 2 с 2 в ^

Это выражение 4-26 на странице 4-19 в « Формулировании наблюдаемых и вычисляемых значений типов данных дальней космической сети для навигации» Теодора Мойера . Большинство членов становится равным нулю, когда у вас есть только одна масса.

Кто-нибудь знает физическую интерпретацию трех дополнительных терминов? Буду рад, если вы мне об этом расскажете. Я вижу, что есть один термин, который в основном представляет собой гравитацию «отрицательного обратного куба», отталкивающую, например, планеты от солнца.

Теперь я нашел статью « Третья постньютоновская динамика компактных двойных систем: уравнения движения в системе центра масс» Бланше и Айера . В статье описывается постньютоновское расширение до третьего порядка «3PN». ускорение в условиях Шварцшильда находится в выражении 3.9 и 3.10.Большинство членов становятся равными нулю.Я нахожу постньютоновские ускорения 3PN в условиях Шварцшильда:

г в ¯ г т "=" − г М р 2 ( 1 − 4 г М р с 2 + 9 ( г М р с 2 ) 2 − 16 ( г М р с 2 ) 3 ) р ^ − г М р 2 ( в 2 с 2 − 2 г М р с 4 ( в ¯ ⋅ р ^ ) 2 + ( г М ) 2 р 2 с 6 ( в ¯ ⋅ р ^ ) 2 ) р ^ − г М р 2 ( − 4 ( в ¯ ⋅ р ^ ) с 2 + 2 г М р с 4 ( в ¯ ⋅ р ^ ) − 4 ( г М ) 2 р 2 с 6 ( в ¯ ⋅ р ^ ) ) в ¯

Может быть, я сделал какую-то ошибку. Первые четыре члена, не зависящие от скорости, выглядят как сходящийся ряд. Может быть, и остальные термины сходятся к известному выражению, вам что-нибудь об этом известно?

  1. Какова физическая интерпретация различных терминов?
  2. Сходятся ли ускорения постньютоновского расширения, примененные к случаю только одного сферически симметричного тела, к выражению для релятивистского ускорения, и если да, то каково это выражение?
Что касается (1), я сомневаюсь, что существует физическая интерпретация отдельных терминов. Тем не менее, я предлагаю ознакомиться либо с ранними работами К. Уилла по постньютоновской гравитации, либо с его недавней книгой «Теория и эксперимент в гравитационной физике».
Почему вы говорите: «Может быть, я сделал какую-то ошибку»? Результат 3PN выглядит согласующимся с первым результатом 2PN.
Что касается (2), то эти разложения относятся к г 2 р ¯ / г т 2 где т является координатным временем. Релятивистское ускорение будет г 2 р ¯ / г т 2 где т самое подходящее время.
Ну, вы можете получить одну ошибку при выполнении «перевода» в евклидову систему с координатным временем и другую ошибку, потому что вы усекаете ряд и используете только первые несколько членов ряда. Если вы сможете выяснить, сходится ли ряд к какому-то выражению, вы, по крайней мере, сможете избавиться от ошибки, связанной с усечением.
Вероятно, это уравнения Эйнштейна-Инфельда-Гоффмана, расширенные до более высокого порядка: en.wikipedia.org/wiki/… . Вероятно, некоторые члены более низкого порядка имеют определенные физические интерпретации, такие как эффекты релятивистской инерции или гравитомагнитные эффекты. Но к тому времени, когда вы доберетесь до третьего порядка, я сомневаюсь, что вы сможете найти почленные физические интерпретации. Обратите внимание, что такие вещи будут работать только в специально выбранных системах координат, поэтому они не имеют прямого физического значения.

Ответы (2)

Хотя ранее я заметил, что сомневаюсь в физической интерпретации отдельных терминов, я понял, что существует ручная интерпретация терминов, не связанных со скоростью, начиная с термина «отрицательный обратный куб», который отталкивающий.

Ваше расширение предназначено для ускорения тестовой массы м , но есть эквивалентное расширение потенциальной энергии,

U "=" − г М м р ( 1 − 2 г М р с 2 + … ) .

Это можно интерпретировать, думая о том, как гравитационная потенциальная энергия тяготеет . Ньютоновский PE,

U 0 "=" − г М м р

можно считать «живущим» в ньютоновском гравитационном поле. (На самом деле это можно уточнить для ньютоновской гравитации.) Она распределена в пространстве, но в основном находится в области между М и м .

Поскольку мы рассматриваем релятивистские поправки к ньютоновской гравитации, имеет смысл рассмотреть эффективную отрицательную массу этой отрицательной энергии поля,

м U 0 "=" U 0 с 2 "=" − г М м р с 2 ,

а затем рассмотрим гравитационную потенциальную энергию между этой массой и М , если предположить, что они разделены примерно р :

U 1 "=" − г М м U 0 р "=" г 2 М 2 м р 2 с 2

Это с точностью до мультипликативной константы порядка 1, отражающей нелокализацию энергии поля, является вторым членом в разложении PE.

Это отталкивает, потому что гравитационная потенциальная энергия отрицательна.

Вы можете продолжать играть в ту же игру, думая о третьем члене расширения как о привлекательной поправке из-за того, что поправка на энергию, которую мы только что рассмотрели, тяготеет к вам.

Эту интерпретацию не следует воспринимать слишком серьезно. Это больше просто для интуиции. Однако «гравитация гравитационной энергии» — реальная вещь в постньютоновском подходе к ОТО. Например, если вы читаете здесь о β 2 параметр в исходном формализме PPN Уилла, он параметризует, «сколько гравитации создается единицей гравитационной потенциальной энергии», и не равен нулю в ОТО.

Другим примером гравитационной потенциальной энергии является эффект Нордтведта .

У меня нет аналогичной интерпретации условий, зависящих от скорости, потому что в ньютоновской гравитации нет зависимости от скорости.

Я сомневаюсь, что ряд сходится к какой-либо известной функции, потому что, если бы это было так, физики использовали бы ее, а не разложение.

Из списка серий я нахожу, что ∑ к "=" 1 ∞ к 2 г к "=" г ( 1 + г ) ( 1 − г ) 3 . Отсюда я получаю, что приведенный выше термин, не зависящий от скорости, сходится к − г М р 2 ( 1 − г М р с 2 ( 1 + г М р с 2 ) 3 ) р ^ , параметр г "=" − г М / ( р с 2 ) и предполагая, что серия продолжается так же, как и началась. это выглядит странно. Возможно, вы должны получить разные выражения в зависимости от выбора метрики, а также от того, что выражение для потенциальной энергии отличается в используемой метрике, которая описывается как «изотропная», но, возможно, чем-то отличается от наиболее известных изотропных координат.

Если вы установите вторичную массу равной нулю (или, точнее, отношение масс), то у вас останется PN-разложение геодезического уравнения в пространстве-времени Шварцшильда (в некоторых конкретных координатах (я думаю, гармонических).

На странице 2-9 в упомянутой выше документации JPL есть выражение под номером 2-16 для метрики, которое, кроме масштабного члена, выглядит так: г с 2 "=" ( 1 − 2 г М р с 2 ) с 2 г т 2 − ( 1 + 2 г М р с 2 ) ( г Икс 2 + г у 2 + г г 2 ) с помощью которого предполагается получить первое выражение выше.
3PN и постньютоновское приближение Шварцшильда более высокого порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v