Определение влияния малой переменной силы на прецессию планетарного перигелия

Вы можете использовать теорию возмущений . Это дает вам только приблизительный ответ, но допускает аналитическую обработку. Ваша сила считается небольшим возмущением кеплеровской эллиптической орбиты, и результирующие уравнения движения разлагаются по степеням$K$. Для линейной теории возмущений только слагаемые, линейные по$K$сохраняются. Это просто приводит к интегрированию возмущения по невозмущенной исходной орбите. Записав силу в виде вектора, возмущающее ускорение равно

$$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$$ с $v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$лучевая скорость ( $\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$) и $\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$вращательная составляющая скорости (полная скорость минус радиальная скорость). Здесь точка выше обозначает производную по времени, а шляпа — единичный вектор.

Это зависит от того, что вы подразумеваете под « эффектом ». Отработаем изменения большой полуоси орбиты$a$, эксцентриситет$e$, и направление периапсиды.

---

Подводя итог нижеприведенным результатам : большая полуось и эксцентриситет не изменились, но направление периапсиды вращается в плоскости орбиты со скоростью

$$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$$ куда $\Omega$- орбитальная частота и $v_c=\Omega a$с $a$большая полуось. Обратите внимание, что (для $K=3$) это согласуется со скоростью прецессии общей теории относительности (ОТО) порядка $v_c^2/c^2$(дано Эйнштейном в 1915 г., но не упомянуто в исходном вопросе).

---

изменение большой полуоси

Из отношения$a=-GM/2E$(с$E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$орбитальная энергия) мы имеем для изменения$a$из-за внешнего (некеплеровского) ускорения

$$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$$ Вставка $\boldsymbol{a}$(Обратите внимание, что $\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$с вектором углового момента $\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$), мы получили $$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$$ Поскольку средняя орбита $\langle v_r f(r)\rangle=0$для любой функции $f$(Смотри ниже), $\langle\dot{a}\rangle=0$.

изменение эксцентриситета

От$\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$, мы нашли

$$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$$ Мы уже знаем, что $\langle\dot{a}\rangle=0$, поэтому нужно учитывать только первый член. Таким образом, $$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$$ где я использовал личность $(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$и факт $\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$. Еще раз $\langle v_r/r^2\rangle=0$и, следовательно $\langle\dot{e}\rangle=0$.

изменение направления периапсиды

Вектор эксцентриситета $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$точек (от центра тяжести) в направлении периапсиды, имеет величину$e$, и сохраняется при кеплеровском движении (подтвердите все это в качестве упражнения!). Из этого определения находим его мгновенное изменение за счет внешнего ускорения

$$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$$ где я использовал личность $\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$и факт $\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$. Средние орбиты этих выражений рассматриваются в приложении ниже. Если мы, наконец, соберем все вместе, мы получим $\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$с [ исправлено снова ] $$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$$ Это вращение периапсида в плоскости орбиты с угловой частотой $\omega=|\boldsymbol{\omega}|$. В частности $\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$в согласии с нашим предыдущим выводом.

Не забывайте, что из-за использования нами теории возмущений первого порядка эти результаты строго верны только в пределе$K(v_c/c)^2\to0$. Однако в теории возмущений второго порядка оба$a$и/или$e$может поменяться. В ваших численных экспериментах вы должны обнаружить, что усредненные по орбите изменения$a$и$e$либо равны нулю, либо масштабируются сильнее, чем линейные с амплитудой возмущения$K$.

отказ от ответственности Нет гарантии, что алгебра верна. Проверь это!

---

Приложение: средние орбиты

Средние значения орбиты$v_rf(r)$с произвольной (но интегрируемой) функцией$f(r)$может быть непосредственно вычислена для любого типа периодической орбиты. Позволять$F(r)$быть первообразной$f(r)$, т.е.$F'\!=f$, то среднее значение орбиты равно:

$$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$$ с $T$орбитальный период.

Для средних орбит, требуемых в$\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$, мы должны копнуть немного глубже. Для кеплеровской эллиптической орбиты

$$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$$ с вектором эксцентриситета $\boldsymbol{e}$и $\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$вектор, перпендикулярный $\boldsymbol{e}$и $\boldsymbol{h}$. Здесь, $\eta$эксцентрическая аномалия, связанная со средней аномалией $\ell$с помощью $\ell=\eta-e\sin\eta,$такой, что $\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$и среднее значение орбиты становится $$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$$ Взяв производную по времени (обратите внимание, что $\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$орбитальная частота) $\boldsymbol{r}$, находим для мгновенной (невозмущенной) орбитальной скорости $$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$$ где я представил $v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$, скорость круговой орбиты с большой полуосью $a$. Отсюда находим лучевую скорость $v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$и скорость вращения $$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$$

С ними у нас [ снова исправлено ]

$$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$$ в частности, компоненты в направлении $\hat{\boldsymbol{e}}$среднего до нуля. Таким образом [ исправлено снова ] $$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$$