Псевдоскалярное действие в классической теории поля

Электромагнетизм симметричен по четности. Потому что все остальные термины в действии, такие как$mv^2-V(x)$для частиц - четны по четности, электромагнитный вклад тоже должен быть четен по четности. В противном случае разные члены трансформировались бы по-разному, и объединенная теория нарушила бы четность. «Четность по четности» просто означает, что лагранжева плотность является скаляром, а не псевдоскаляром. Это то же самое.

Инвариантность действий относительно

$$(x,y,z)\to(-x,-y,-z),$$ включая знак ( $S\to +S$), — это просто то, что мы подразумеваем под симметрией четности, а скаляры (в отличие от псевдоскаляров) — это объекты, которые также сохраняют свои знаки при этой операции.

$E\cdot B$это член, который не влияет на уравнения движения, потому что это полная производная (которая интегрируется в константу, не подверженную влиянию вариаций полей, пока вариации полей в$t=\pm \infty$исчезнуть):

$$E\cdot B \sim \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} \sim \partial^\alpha( \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} A^\beta F^{\gamma\delta})$$ Вы видите, что это полная производная; в $\partial^\alpha F^{\gamma\delta}$срок, заключенный с $\epsilon$исчезает тождественно, потому что это тождество Бьянки (на языке форм, $d^2 A\equiv 0$).

Однако в неабелевых теориях члены типа

$${\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ изменить физику, даже если они являются полными производными. Это потому, что они интегрируются в нетривиальный интеграл в евклидовом пространстве-времени, где конфигурация калибровочного поля топологически нетривиальна — инстантон.

В формулировке интеграла по траекториям Фейнмана квантовая механика вычисляет амплитуды перехода как сумму нормальных историй, а также инстантонов, и аддитивные сдвиги в инстантонах имеют значение. Поскольку указанное выше действие инстантона является целым числом, после правильной нормализации коэффициент$\theta$перед ним определяется по модулю$2\pi$- как угол - потому что изменение действия$S$по$2\pi i$не имеет значения, поскольку интеграл по путям зависит только от$\exp(iS)$. Например, в КХД термин

$$\theta{\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ известно, влияет на физику, но экспериментально коэффициент $\theta$меньше, чем $10^{-9}$что удивительно и неестественно: мы ожидали бы $\theta$быть первого порядка. $\theta$-член выше, если он отличен от нуля, также является P- (псевдоскалярным) и CP-нечетным, и это привело бы к новым источникам CP-нарушения, которое не наблюдается (единственное наблюдаемое CP-нарушение исходит из фазы Матрица СКМ, смешивающая массы кварков).

Эта малость$\theta$-угол, который, по-видимому, не объясняется и не нужен даже для жизни (поэтому даже антропный принцип не помогает), называется сильной СР-проблемой. Основной кандидат объяснения, почему наблюдаемое$\theta$мала, хотя и не обязательно, это механизм Печчеи-Куинна, использующий аксионы.$\theta$каким-то образом превращается в легкое скалярное поле...

В последние годы стало очевидным, что класс материалов, называемых топологическими изоляторами , может быть описан действием, где член$E\cdot B$добавлен.

Действие

$$S_{top} = S_{em} + \frac{\theta}{2\pi}\frac{e^2}{\hbar c·2\pi} \int d^3xdt\, E·B.$$

Для обычных изоляторов имеем$\theta=0$а для топологических изоляторов имеем$\theta=\pi$.

Поскольку$E·B$член является полной производной, уравнения Максвелла не меняются внутри и снаружи изолятора. Но дело в том, что$\theta$имеет градиент на поверхности, и здесь происходит кое-что интересное. А именно, внешнее электрическое поле может индуцировать поверхностные токи и наоборот.

Можно подумать, что действие не инвариантно относительно обращения времени, потому что тогда нам пришлось бы отображать$\theta\to-\theta$. Но при периодических граничных условиях оказывается, что значение$\theta$корректно определен только по модулю$2\pi$. Таким образом, оба$\theta=0$а также$\theta=\pi=2\pi-\pi$возможны. Обратите внимание, что вам нужна квантовая механика, чтобы понять, что$\theta$можно определить только до$2\pi$, то классически увидеть не возможно.