Что побудило Дирака заняться изучением гипотетических магнитных монополей?

Ранний вклад Кюри

Впервые на возможность существования магнитных монополий указал Пьер Карри в своей статье, которая на английском языке называется « О возможном существовании магнитной проводимости и свободного магнетизма », в которой было описано понятие монополя. Он отмечает в первом предложении,

Le parrallélisme де phénomènes électriques et magnétiques nous améne naturellement á nous demander си эта аналогия est plus compléte.

То есть, по-английски, параллелизм, существующий между электрическими и магнитными явлениями, заставляет нас задуматься о том, можно ли его усилить, то есть рассмотреть модифицированную форму закона Гаусса для магнитного поля, поскольку в противном случае уравнения Максвелла связывают$\vec E$и$\vec B$вместе красиво.

Условия квантования Дирака и солитоны

В статье Дирака исследуются последствия монополей и, в частности, то, что они подразумевают квантование электрического заряда. В частности, это можно показать, рассмотрев теорию с лагранжианом вида

$$\mathcal L = \frac{1}{2e^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \frac{1}{e^2} \left( \mathcal D_\mu \phi\right)^2$$

со скалярным полем$\phi^a_b$преобразуя в присоединенном представлении$SU(N)$. Мы можем установить$\langle \phi \rangle = \vec \phi \cdot \vec H$где$\vec H$является базисом подалгебры$\mathfrak{su}(N)$. Не вдаваясь в подробности, есть условие нарушения калибровочной симметрии до максимального тора,$U(1)^{N-1}$.

Причина, по которой я использовал этот формализм, состоит в том, чтобы показать, что монополи можно рассматривать как солитоны, которые давно представляют интерес для физиков. Они опираются на вышеупомянутый вев и имеют вид$\langle \phi \rangle = \langle \phi (\theta,\varphi)\rangle$с$\theta,\varphi$координаты на границе$S^2_\infty$. Магнитное поле оказывается в форме

$$B_i = \vec g \cdot \vec H(\theta,\varphi) \frac{\hat r_i}{4\pi r^2}.$$

Зафиксировав vev постоянным на бесконечности, мы можем написать,

$$B_i = \mathrm{diag}(g_1,\dots,g_N)\frac{\hat r_i}{4\pi r^2}$$

с условием$\sum g_a = 0$так как поле находится в$\mathfrak{su}(N)$. Чтобы прийти к условию квантования, можно найти соответствующий 4-потенциал, и для того, чтобы калибровочные преобразования были однозначными, мы имеем, что

$$\exp (i\vec g \cdot \vec H) = 1$$

который удовлетворяется только для$g_a \in 2\pi \mathbb Z$в единицах, где$e= 1$, что эквивалентно условию квантования Дирака. Весь смысл статьи Дирака состоит в том, чтобы показать последствия существования монополий, и она строится на концепции, уже описанной Кюри.

Более того, как показало это изложение, монополи можно рассматривать как солитоны, и они интересовали Джона Скотта Рассела до публикаций Дирака о монополиях.

Аргумент Дирака является чисто теоретическим , в то время как уравнение$(1)$в вашем вопросе основаны на экспериментах: он не запрещает существование магнитного монополя; он просто говорит, что это не наблюдается (пока).

Поэтому ясно, что мотивация Дирака состояла в том, чтобы теоретически показать, что поиск магнитных монополей, которые, если они будут найдены, могут как объяснить квантованную природу электрического заряда, так и сделать уравнения Максвелла полностью симметричными, стоят усилий.