1D Бесконечный квадратный колодец: коробка внезапно увеличивается в размерах. Как относиться к этому?

Question

1D Бесконечный квадратный колодец: коробка внезапно увеличивается в размерах. Как относиться к этому?

Йода

В настоящее время я работаю над книгой Джона С. Таунсенда «Фундаментальный подход к современной физике» (ISBN: 978-1-891389-62-7). Упражнение 3.12 (стр. 111) посвящено одномерной бесконечной квадратной яме. Коробка имеет потенциальные барьеры на $x=0$ и $x=L$ .

В (Икс) "=" {\begin{cases} \infty & Икс < 0 \\ 0 & 0 \leq Икс \leq л \\ \infty & Икс > л \end{cases}

$V\left(x\right) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ 0 & 0 \leq x \leq L \\ \infty & x > L \end{cases}$

В тексте говорится следующее:

Частица массы $m$ находится в низшем энергетическом (основном) состоянии бесконечной ямы потенциальной энергии. Вовремя $t=0$ стена, расположенная в $x=L$ внезапно возвращается в положение $x=2L$ . Это изменение происходит настолько быстро, что мгновенно волновая функция не меняется. ( $a$ ) Рассчитайте вероятность того, что измерение энергии даст энергию основного состояния новой ямы.

Ответ на этот вопрос включает в себя повторное решение TISE, применение новых граничных условий и повторную нормировку волновой функции. Затем мы проецируем новую волновую функцию на старую и вычисляем перекрытие двух волновых функций (начальной и конечной волновой функции).

Я не могу найти никакого обсуждения этой конкретной проблемы, которое позволило бы мне обосновать мой способ вычисления перекрытия между начальной и конечной волновой функцией. Ни за что. Если у меня нет знаний в области линейной алгебры и я не смогу предвидеть необходимость спроецировать одно на другое и как бы логически найти путь к ответу, я не вижу возможности ни одному студенту без опыта работы с квантовой физикой. способны решить это самостоятельно. Пришлось пользоваться гуглом, пока не нашел решение похожей проблемы.

Или, может быть, QM просто не приходит ко мне естественным образом. На курсах такого типа требуется решение многих проблем, чтобы у нас возникла некоторая «интуиция» о том, чего ожидать в качестве результатов, что делать и т. д. Я до сих пор не полностью понимаю логику решения проблемы. .

Феноменологически внутри ящика находится частица. Затем, внезапно, коробка расширяется в два раза. Однако волновая функция не меняется. Несмотря на то, что частица имеет большую коробку, в которой она может перемещаться, исходная волновая функция не принимает во внимание это дополнительное пространство и будет равна нулю, когда $x>L$ . Следовательно, я не ожидал бы, что частица сильно отважится проникнуть в новую область, если бы мы использовали только начальную волновую функцию. Или проблема в том, что частица действительно отправится туда (поскольку $V(x)=0$ , и это физически разрешено), но мы это не учли при нормализации функции? Значит, нет смысла вычислять какое-либо свойство частицы с «исходной» волновой функцией, так как это просто неправильная волновая функция для новой ямы?

Новые идеи и мысли

Итак, я должен вычислить интеграл

с_{1} "=" \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (Икс) Ψ (Икс) г Икс

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

где $\psi_1$ — теоретическая волновая функция частицы во всем ящике, т. е. от $0$ к $2L$ , и $\Psi$ есть волновая функция реальной частицы, т.е. $0$ к $L$ .

Теперь я могу разделить этот интеграл на две части:

с_{1} "=" \int_{- \infty}^{\infty} ψ_{1} (Икс) Ψ (Икс) г Икс "=" \int_{0}^{л} ψ_{1} (Икс) Ψ (Икс) г Икс + \int_{л}^{2 л} ψ_{1} (Икс) Ψ (Икс) г Икс

$c_1 = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \psi_1 (x) \Psi (x) dx = \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx + \int\limits_{L}^{2L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx$

Мы видим, что поскольку реальная волновая функция частицы не определена, когда $x>L$ , второй член будет равен нулю, т. е. волновая функция нормирована для $0<x<L$ , а граничные условия гарантируют, что $\Psi \rightarrow 0$ когда $x=0$ и $x=L$ . Таким образом, интеграл по сводится к

\begin{aligned} с_{1} & "=" \int_{0}^{л} ψ_{1} (Икс) Ψ (Икс) г Икс \\ "=" \int_{0}^{л} \sqrt{\frac{1}{л}} грех (\frac{π Икс}{2 л}) \sqrt{\frac{2}{л}} грех (\frac{π Икс}{л}) г Икс \\ "=" \frac{\sqrt{2}}{л} \int_{0}^{л} грех (\frac{π Икс}{2 л}) грех (\frac{π Икс}{л}) г Икс \\ "=" \frac{4 \sqrt{2}}{3 π} \\ \Rightarrow с_{1}^{2} & "=" \frac{32}{9 π^{2}} \\ с_{1}^{2} & \approx 0,36 \end{aligned}

$\begin{align*} c_1 &= \int\limits_{0}^{L} \psi_1 (x) \Psi (x) dx \\ &= \int\limits_{0}^{L} \sqrt{\frac{1}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{\sqrt{2}}{L} \int\limits_{0}^{L} \sin \left( \frac{\pi x}{2L} \right) \sin \left( \frac{\pi x}{L} \right) dx \\ &= \frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} \\ \Rightarrow c_1^2 &= \frac{32}{9 \pi ^2} \\ c_1^2 & \approx 0.36 \end{align*}$

Я думаю, возможно, моя трудность с «визуализацией» проблемы заключается в том, что я не совсем понимаю выражение для $c_n^2$ , и как это дает вероятность измерения уровня энергии $n$ .

Я знаю, это кажется бессвязным, и, может быть, так и есть, но я надеюсь, вы понимаете мое замешательство. Я ценю любую помощь!

Ответы (4)

1D Бесконечный квадратный колодец: коробка внезапно увеличивается в размерах. Как относиться к этому?

Руслан · Answer 1

...нет смысла вычислять какое-либо свойство частицы с "исходной" волновой функцией, так как это просто неправильная волновая функция для новой ямы?

Волновая функция не может быть «неправильной». Ваша волновая функция — это просто начальное условие для зависящего от времени уравнения Шредингера. Вот как это будет развиваться, если вы решите уравнение, зависящее от времени (здесь я игнорирую нормализацию):

введите описание изображения здесь

Мы видим, что поскольку реальная волновая функция частицы не определена, когда $x>L$ ...

Волновая функция определена для всех $x\in\mathbb R$ . Это просто ноль за пределами $(0,L)$ потому что потенциал там бесконечен.

второй член будет равен нулю

Это остается верным, однако, из-за того, что я сказал выше.

волновая функция нормирована для $0<x<L$

На самом деле, опять же, волновая функция является нормированным периодом . Он определен для всей реальной линии и равен нулю за пределами лунки, поэтому, когда вы нормализовали с помощью интеграла по лунке, это то же самое, как если бы вы интегрировали по $\mathbb R$ . Если бы это было не так, то ваша "нормализация для какой-то области" не имела бы никакого смысла, т.е. это вообще не была бы нормализация.

Ваши дальнейшие расчеты мне кажутся приемлемыми.

Я думаю, возможно, моя трудность с «визуализацией» проблемы заключается в том, что я не совсем понимаю выражение для $c^2_n$ , и как это дает вероятность измерения уровня энергии $n$ .

Что это дает вероятность измерения уровня энергии $n$ известно как правило Борна . Вы находите проекцию вашей фактической волновой функции на собственное состояние энергии, а именно на состояние $n$ . Согласно правилу Борна, квадрат его величины представляет собой вероятность того, что система окажется в этом собственном состоянии.

Тот факт, что вы использовали для расчетов только неизмененную исходную волновую функцию, хотя она почти сразу резко меняется с течением времени, заключается в том, что, несмотря на изменение формы, ее коэффициенты $c_n$ на самом деле только изменить свою фазу, как

с_{н} \propto опыт (- \frac{я}{ℏ} Е_{н} т),

$c_n\propto\exp\left(-\frac i\hbar E_nt\right),$

но остаются теми же по величине — потому что потенциал не зависит от времени. Таким образом, вы можете измерить энергию по прошествии некоторого времени и получить тот же результат.

Эрик Энгл · Answer 2

Я бы забыл о движении стены. Потенциал представляет собой бесконечную квадратную яму шириной $2L$ (потенциал $\infty$ кроме региона $0 < x < 2L$ , где это $0$ ), а волновая функция

Ψ (Икс, т) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} с_{н} ψ_{н} (Икс) опыт (- \frac{я Е_{н} т}{ℏ}),

$\Psi\left(x,t\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \exp\left(-\frac{iE_n t}{\hbar}\right),$ где

ψ_{n} (x) = \sqrt{1 / L} \sin (n π x / 2 L)

$\psi_n\left(x\right) = \sqrt{1/L} \sin\left(n \pi x / 2L\right)$ это

n

$n$ -е стационарное состояние, и

E_{n} = n^{2} π^{2} ℏ^{2} / (8 m L^{2})

$E_n = n^2 \pi^2 \hbar^2 / \left(8 m L^2\right)$ является его энергия.

Для определения коэффициентов $c_n$ , мы умножаем $\Psi\left(x,0\right)$ к $\psi_m^*\left(x\right)$ , интегрируем и используем ортонормированность стационарных состояний:

\int_{0}^{2 л} г Икс ψ_{м}^{*} (Икс) Ψ (Икс, 0) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} с_{н} \int_{0}^{2 л} г Икс ψ_{м}^{*} (Икс) ψ_{н} (Икс) "=" \sum_{н "=" 1}^{\infty} с_{н} {дельта}_{м н} "=" с_{м}

$\int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \Psi\left(x,0\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \int_0^{2L} dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n\delta_{mn} = c_m$ Если этот последний шаг сбивает с толку, помните, что он эквивалентен использованию ортонормированности декартовых единичных векторов.

{\hat{e}}_{i} ∙ {\hat{e}}_{j} = δ_{i j}

$\hat{\bf e}_i \bullet \hat{\bf e}_j = \delta_{ij}$ для определения компонентов

V_{i}

$V_i$ трехмерного вектора

V

$\bf V$ взяв скалярный продукт с

{\hat{e}}_{i}

$\hat{\bf e}_i$ :

V ∙ {\hat{e}}_{i} = (\sum_{j} V_{j} {\hat{e}}_{j}) ∙ {\hat{e}}_{i} = \sum_{j} V_{j} δ_{j i} = V_{i}

${\bf V} \bullet \hat{\bf e}_i = \left(\sum_j V_j \hat{\bf e}_j\right) \bullet \hat{\bf e}_i = \sum_j V_j \delta_{ji} = V_i$ .

Во всяком случае, теперь мы используем тот факт, что начальная волновая функция $\Psi\left(x,0\right)$ является основным состоянием бесконечной квадратной ямы шириной $L$ , который $\sqrt{2/L} \sin\left(\pi x/L\right)$ для $0 < x < L$ и $0$ в противном случае. Итак (обратите внимание на изменение диапазона интегрирования),

с_{н} "=" \frac{\sqrt{2}}{л} \int_{0}^{л} г Икс грех (\frac{н π Икс}{2 л}) грех (\frac{π Икс}{л}) "=" \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} г ты грех (\frac{н ты}{2}) грех (ты),

$c_n = \frac{\sqrt{2}}{L} \int_0^{L} dx \ \sin\left(\frac{n \pi x}{ 2L}\right) \sin\left(\frac{\pi x}{L}\right) = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{n u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ или

с_{1} "=" \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{π} г ты грех (\frac{ты}{2}) грех (ты),

$c_1 = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \int_0^{\pi} du \ \sin\left(\frac{u}{2}\right) \sin\left(u\right),$ как у вас.

д_б · Answer 3

Кажется, что то, что вы упускаете, — это очень важный компонент квантовой механики — правило Борна. Когда мы измеряем некоторые наблюдаемые $A$ , мы найдем, что $A$ принимает значения в собственных значениях $a_i$ соответствующего оператора $A$ . Правило Борна говорит нам, что для системы, изначально находящейся в состоянии $\left|\psi\right>$ , вероятность нахождения системы в собственном состоянии $\left|a_i\right>$ соответствующий собственному значению $a_i$ является $\left|\left<a_i|\psi\right>\right|^2$ . В стандартной математической нотации это $\left|(a_i,\psi)\right|^2$ , внутренний продукт между двумя состояниями. В позиционном базисе состояния являются волновыми функциями, и мы можем явно записать их внутренний продукт как $\int\,dx\, \phi_i(x)\psi(x)$ .

Марко Окрам · Answer 4

Вероятность того, что измерение, сделанное на частице, даст энергию основного состояния, пропорциональна перекрытию между начальной волновой функцией и собственной функцией основного состояния. Поэтому вам просто нужно вычислить интеграл перекрытия между начальным состоянием и конечным. Независимо от того, интегрируете ли вы всю расширенную яму или только ее первоначальную нерасширенную протяженность, результат не изменится, потому что исходная волновая функция равна нулю везде в расширенной области.

1D Бесконечный квадратный колодец: коробка внезапно увеличивается в размерах. Как относиться к этому?

Йода

Ответы (4)

Руслан

Эрик Энгл

д_б

Марко Окрам

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Волновая функция частицы в гравитационном поле

Уравнение одномерного уравнения Шредингера с начальным условием, определяющее вероятность будущего положения частицы