Уравнение одномерного уравнения Шредингера с начальным условием, определяющее вероятность будущего положения частицы

Интегралы, которые вам нужно вычислить, не так уж сложны. Во-первых, пространственные части ваших волновых функций реальны (это мудро и всегда возможно в одном измерении), а потому комплексно-сопряженные просто не имеют значения. Итак, оставшийся интеграл у вас справа (с точностью до некоторого выражения, зависящего от t (S (t)), которое мы пока оставим):

$$I(t) = S(t) \int_0^a\Phi_n(x)\Phi_m(x) dx = S(t) \frac{2}{a} \int_0^a \operatorname{sin}\Big( \frac{n\pi x}{a} \Big) \operatorname{sin}\Big( \frac{m\pi x}{a} \Big)dx$$

Теперь нужно сделать замену$t = \frac{\pi x}{a}$получить

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \operatorname{sin} ( n x ) \operatorname{sin} ( m x )dx$$

Прежде всего, если либо n, либо m равны 0, тогда I(t) = 0, и ваше начальное состояние нормализовано.

Теперь вы интегрируете по частям (или по математике, если вы не можете по частям), чтобы получить

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} [ -(\frac{1}{m} \sin{n x} \cos{m x}) |_0^\pi + \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx]$$

Первый член равен 0 (потому что sin равен 0 во всех кратностях$\pi$). Теперь можно приступить к интегрированию по частям второго слагаемого.

$$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} ( \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx) = S(t) \frac{2}{\pi} [ (\frac{n}{m^2} \cos{n x} \sin{m x}) |_0^\pi$$ $$+ \frac{n^2}{m^2} \int_0^\pi \sin{n x} \sin({m x}) dx] = \frac{n^2}{m^2} I(t)$$

Итак, есть две возможности - либо n=m, либо I(t)=0 (n=-m исключается, так как отрицательных меток нет в базе, т.к. sin(-nx) = -sin(nx) - линейная зависимость). Вы получаете ОТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ - если собственные векторы имеют разные метки (например, 1 и 2, как в вашем случае), они ортогональны в$L^2([0,a])$которое оказывается вашим гильбертовым пространством. Существуют теоремы, которые утверждают, что это всегда верно для гамильтоновых собственных состояний - соответствующая теория дифференциальных операторов известна как теория Струма-Лиувилля (для конечномерных гильбертовых пространств это тривиальное свойство самосопряженных операторов).

Теперь ко второй части вашего вопроса. Квадрат модуля волновой функции по определению представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы в интервале$dx$

Итак, вероятность найти частицу в [0,a/2] равна просто

$$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx +$$

$$\frac{1}{2}\int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) \operatorname{exp} \Big( (-1^2+2^2)\frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)+ \Phi_2(x) \Phi_1(x) \operatorname{exp} \Big( (-2^2+1^2) \frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)$$ $$= \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx + \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}} \int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) dx$$

Первый интеграл равен просто 1, потому что мы берем половину площади$sin(x)^2$и$sin(2x)$и добавьте его. Второй интеграл можно легко вычислить, используя двойную формулу «по частям» выше и заменив$\pi$с$\pi/2$в пределах интеграла. Один получает$\frac{4}{3 \pi}$Поэтому, наконец,

$$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}+\frac{4}{3 \pi} \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}}$$

Как$\frac{4}{3 \pi} < \frac{1}{2}$результат имеет смысл. Поскольку тело находится в смеси двух состояний, вероятность уже не является постоянной во времени.

@ Ответ Ника правильный, но избыточный.

Состояние не нужно ни нормализовать с самого начала, ни представлять собственными состояниями, чтобы сохранить свою норму.

Эволюция во времени — это унитарное преобразование (действительно, потому что гамильтониан эрмитов). Поэтому норма состояния, любого состояния сохраняется во времени. Это подробно объясняется здесь .

Если ваш$\Phi_n(x,t)$уже являются энергетическими собственными состояниями, тогда они ортогональны и, следовательно, если « пусть нормализованная волновая функция в одном измерении будет » означает, что вы уже нормализовали ее, тогда$f(x)$в$t=0$нормализуется.

Для более поздних времен у вас есть

$$\Phi_n(x,t)=e^{-iE_nt}\Phi_n(x,0)=\exp({-iHt})\Phi_n(x,0)=U(t)\Phi_n(x,0)$$ и так $$\Phi(x,t)=c_1\Phi_1(x,t)+c_2\Phi_2(x,t)=U(t)(c_1\Phi_1(x,0)+c_2\Phi_2(x,0))=U(t)f(x).$$ С $U(t)$является унитарным, состояние останется нормализованным.

Вы не дали нам гамильтониан, чтобы проверить, будут ли эти$\Phi_n$действительно являются собственными состояниями, но дело в том, что если они таковы, то состояния ортогональны, потому что гамильтониан является эрмитовым и, следовательно, члены перемешивания равны нулю.

Интегрирование (для нормализации, проверки ортогональности, а также нахождения частицы на конечном интервале) является чисто математической задачей.

редактировать: Хорошо, вот вы идете

http://img15.imageshack.us/img15/6774/bild3nl.png

Это выражение является единственным$x$-зависимая часть и равна нулю для всех целых чисел$n\ne m$.

Вы также можете подключить «Integrate[Sin[\pi x/a]Sin[2\pi x/a],{x,0,a}]» к Wolfram Alpha.