10-мерные и 15-мерные матричные представления SU (5) SU (5) SU (5): явные 24 генератора алгебры Ли

1. Нарисуем для простоты, как идет построение группы Ли.$U(5)$и предоставить читателю изменить его на$SU(5)$.

2. ОП заинтересован в реализации групповых представлений

   $${\bf 10}~:=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~=~\begin{array}{r} [~~]\cr [~~] \end{array} \qquad\text{and}\qquad {\bf 15}~:=~{\bf 5}\odot {\bf 5}~=~[~~]~[~~],\tag{1}$$ где${\bf 5}=[~~]$обозначает определяющее/основное представление$U(5)$. (NB: в этом ответе мы часто отождествляем представление с его векторным пространством .)

3. Вместе они образуют 25-мерное приводимое тензорное представление.

   $${\bf 25}~:=~{\bf 5}\otimes{\bf 5}~=~{\bf 5}\wedge{\bf 5}~\oplus~{\bf 5}\odot{\bf 5}. \tag{2}$$ Здесь$\otimes$обозначает стандартное (несимметричное) тензорное произведение .

4. В явном виде тензорное представление

   $$R:~ U(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{3}$$ дается как $$R(g)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_igv^i_L\otimes gv^i_R ,\tag{4}$$ где $$g\in~ U(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{5}$$

5. Соответствующее представление алгебры Ли

   $$r:~ u(5)~\to~ {\rm End}({\bf 5}\otimes{\bf 5}),\tag{6}$$ дается как $$r(x)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_ixv^i_L\otimes v^i_R + \sum_iv^i_L\otimes xv^i_R,\tag{7}$$ где $$x\in~ u(5), \qquad v^i_L,v^i_R~\in~{\bf 5}.\tag{8}$$ При выборе основы для${\bf 5}$, то в принципе можно вычислить$25\times 25$матричное представление базисных элементов алгебры Ли$u(5)$.

6. Тензорные представления (3) и (6) соответствуют разбиению (2) на искомые представления ОП (1). Это в принципе ответ на вопрос ОП.

7. С другой стороны, ОП рассматривает 25-мерную алгебру Ли

   $$u(5)=u(5)_A\oplus u(5)_S \tag{9}$$ антиэрмитовского$5\times 5$матрицы, которая распадается на 10-мерное подпространство$u(5)_A$вещественных антисимметричных матриц и 15-мерное подпространство$u(5)_S$мнимых симметричных матриц.

8. Присоединенное представление

   $${\rm Ad}: ~U(5)~\to~ {\rm End}(u(5)),\tag{10}$$ дан кем-то $$\begin{align} {\rm Ad}(g)x~:=~&gxg^{-1}, \cr g~\in~&U(5), \qquad x~\in~u(5),\end{align}\tag{11}$$ действует на алгебре Ли$u(5)$, но не учитывает расщепление (9).

К сожалению, несмотря на мое почти обещание в вопросе, который вы цитируете, я не знаю источника, который вычисляет эти громоздкие наборы из 24 чрезвычайно разреженных матриц 10 × 10 и 15 × 15. Лучшее, что я мог бы сделать, это проиллюстрировать для вас компактный ответ @Qmechanic (2) и убедиться, что вы визуализируете его так, как я (и, возможно, все должны).

я воспользуюсь твоим$\lambda_1$как пример генератора 5×15 в вашей нестандартной нормализации,$A_1$для соответствующего 10×10, и$S_1$для 15х15. Но, увы!, я даже не буду их вычислять, а только приводимое побочное произведение 25×25,$A_1\oplus S_1$,

Мое соглашение для тензорных произведений - "справа налево", то есть правые векторы/матрицы тензорных факторов умножают числовые элементы левого вектора/матрицы.

Вышеупомянутое совместное произведение тогда представляет собой простую блочную матрицу , где я записываю блоки 5 × 5 компактно, символически,

Как показано в обоих ответах на${\mathfrak su} (2)$пример на ваш выбор , преобразование Клебша ортогонального подобия приводит к изменению базиса с несвязанного на связанный базис,

Как эта матрица сопутствующих произведений действует на простой (слишком простой!) выборочный вектор? Давайте запишем векторы-столбцы как транспонированные векторы-строки для экономии места:

Теперь наблюдайте$v\otimes w + w\otimes v$преобразуется так же, как указано выше, при$\Delta(\lambda_1)$, и находится в 15 ; тогда как$v\otimes w - w\otimes v$в 10 находится в ядре$\Delta(\lambda_1)$; это то, что делает пример слишком простым. В связанном базисе это было бы в ядре$A_1$.

$A_1$для su (5) , конечно, нетривиальна . Если бы мы взяли месье$u\equiv [0,0,1,0,0]^T$вместо w мы бы задокументировали нетривиальное действие.

Эти упражнения для пальцев с визуализацией могут быть, а могут и не быть полезными в вашем проекте.