Как разложить представление SU(5)SU(5)\rm SU(5)?

Этот вопрос взят из учебника Средненицкого «Квантовая теория поля» . На страницах 514-515 говорится:

Под непрерывным С U ( 3 ) × С U ( 2 ) × U ( 1 ) подгруппа, 5 представительство С U ( 5 ) трансформируется как

(84,12/97,2) 5   →   ( 3 , 1 , − 1 3 ) ⊕ ( 1 , 2 , + 1 2 ) .

Интересно ─ как получается это разложение?

Ответы (1)

  1. Собственно группа Ли

    г "=" С U ( 3 ) × С U ( 2 ) × U ( 1 )
    не является подгруппой С U ( 5 ) . Однако калибровочная группа стандартной модели г / Z 6 является подгруппой калибровочной группы ТВО С U ( 5 ) , ср. например , это , это и это посты Phys.SE.

  2. Здесь мы будем рассуждать на уровне алгебр Ли

    с ты ( 3 ) ⊕ с ты ( 2 ) ⊕ ты ( 1 ) ⊆ с ты ( 5 ) .
    Подробно мы определяем с ты ( 5 ) с антиэрмитовским бесследным 5 × 5 матрицы; с ты ( 3 ) с антиэрмитовским бесследным 3 × 3 блочные матрицы в строках/столбцах 1,2,3; и с ты ( 2 ) с антиэрмитовским бесследным 2 × 2 блочные матрицы в строках/столбцах 4,5; пока ты ( 1 ) порождается диагональной бесследовой матрицей г я а г ( − 2 , − 2 , − 2 , 3 , 3 ) умножить на мнимое число.

  3. векторпространство В 5 "=" В 3 ⊕ В 2 определяющего/основного представления 5 _ из с ты ( 5 ) разлагается на определяющее/основное представление 3 _ из с ты ( 3 ) в рядах 1,2,3; и определяющее/основное представление 2 _ из с ты ( 2 ) в рядах 4,5.

  4. С другой стороны, первые три строки В 3 являются синглетом под с ты ( 2 ) ; а последние две строки В 2 являются синглетом под с ты ( 3 ) .

  5. Также обратите внимание, что генератор ты ( 1 ) имеет такой же слабый гиперзаряд/собственное значение − 2 я и 3 я на В 3 и В 2 , соответственно. Общая нормализация слабого гиперзаряда зависит от условностей/выбора ты ( 1 ) генератор.

  6. В целом, разложение с ты ( 5 ) представительство становится

    5 _     ≅     ( 3 _ ⊗ 1 _ ) − 1 3     ⊕     ( 1 _ ⊗ 2 _ ) 1 2 .

Как разложить представление SU(5)SU(5)\rm SU(5)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v