Группа Spin(n)Spin(n)Spin(n) и отношение SO(n)SO(n)SO(n)

Нет, элементы$Spin(n)$не подчиняйтесь алгебре Клиффорда. Вместо этого ему подчиняются гамма-матрицы. И нет, коммутатор$Spin(n)$Алгебра Ли — это не коммутаторы элементов группы, а элементы алгебры Ли.

Теперь положительно.

Спинорное представление — это представление, на котором образующие$J_{ij}$(базис алгебры Ли) действовать,$s\mapsto J_{ij}\cdot s$. Элементы$Spin(n)$группу можно получить возведением в степень:

$$g = \exp(\sum_{i,j} i\omega_{ij}J_{ij})$$ где $J_{ij}$является базисом алгебры Ли. В то время как в векторном представлении, $J_{ij}$дается почти исчезающим $n\times n$матрица с элементами $\pm i$на $i,j$и $j,i$позиции, соответственно, матрицы $J_{ij}$имеют совершенно иной вид в спинорном представлении $Spin(n)$. Они могут быть записаны как $$J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j \gamma_i}{4}$$ где $\gamma_i$- гамма-матрицы, которые подчиняются алгебре Клиффорда $$\gamma_i \gamma_j + \gamma_j \gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Таким образом, матрицы, подчиняющиеся этой алгебре, могут быть объединены в билинейные выражения, антисимметричный тензор $J_{ij}$с двумя индексами, и эти $J_{ij}$подчиняться $Spin(n)$Алгебра Ли, и, как и в любой алгебре Ли, элементы групп Ли могут быть получены путем возведения в степень комбинаций матриц алгебры Ли. (Эквивалентно алгебра Ли - это касательное пространство группового многообразия Ли в окрестности единичного элемента группы.)