Как построить изоморфизм между сложной специальной линейной группой Ли и специальной унитарной группой? [дубликат]

Это может быть непросвещенный вопрос, но я просто не уверен в результате и надеюсь, что кто-то поможет мне его изменить.

$\\$

Этот вопрос связан с этими тремя вопросами .

$\\$

Я хочу построить отношение изоморфизма между группами Ли $SL(2,\mathbb{C})$и$SU(2)$. У меня такое ощущение, что должен быть какой-то такой изоморфизм групп.

$\\$

Начнем с того, что мы знаем, что алгебры Ли

$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) \simeq \mathfrak{so}(1,3)$$

и

$$\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{o}(4)$$

Но мы также знаем, что

$$\mathfrak{so}(n) \simeq \mathfrak{o}(n)$$

поэтому я считаю, что это позволяет нам писать

$$\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2) \simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$$

В любом случае это имеет смысл, поскольку мы знаем, что действительная алгебра комплексификации$\mathfrak{su}(2)$является$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$, и взяв вещественную алгебру комплексифицированной алгебры Ли, мы получим две коммутирующие копии.

Итак, часть, в которой я еще не уверен, заключается в том, как перейти от этих отношений между алгебрами к отношениям между группами.

Мне сказали, что кто-то в отделе

Теорема Основная теорема о группах Ли: Пусть$G_1$,$G_2$быть группами Ли. Затем$G_1$и$G_2$имеют изоморфные алгебры Ли тогда и только тогда, когда они локально изоморфны.

Так что это только местное заявление.

Более того, он сказал, что существует расширение этой теоремы до глобального утверждения, в котором говорится, что группы Ли глобально изоморфны, если они односвязны.

Теперь, для наших двух групп,$SL(2,\mathbb{C})$и$SU(2)$, мы знаем, что они действительно односвязны. Мы могли бы доказать это или вместо этого вспомнить, что они являются универсальными накрывающими группами$SO(1,3)\uparrow$и$SO(3)$соответственно, а значит по определению они должны быть односвязными.

Это решило бы нашу проблему, и мы могли бы записать

$$SU(2) \times SU(2) \simeq SL(2,\mathbb{C})$$

и быть сделано.

$\\$

Однако я хочу попытаться проверить это утверждение, а не слепо верить ему (не то, чтобы у меня были причины сомневаться в нем, а скорее то, что я хотел бы «узнать это», а не «осознать это»). , если это имеет смысл).

$\\$

Я попытался найти его, и в очевидном источнике не было ничего о Фундаментальной теореме о группах Ли, только короткий отрывок о Третьей теореме Ли .

Некоторые поиски привели к этим конспектам лекций (в формате .pdf) из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Кажется, я получаю то, что хочу, но, к сожалению, написан на языке теории категорий, о котором я ничего не знаю.

$\\$

Может ли кто-нибудь проверить для меня, правильно ли это, и, возможно, указать мне на книгу/веб-сайт/заметки о лекциях и т. д., где я мог бы сослаться. (Наша библиотека огромна, поэтому наличие книги в сети не должно быть ограничением).

$\\$