3D Квантовый гармонический осциллятор

Question

3D Квантовый гармонический осциллятор

Уолтер В

Для изотропного трехмерного КГО в потенциале

В (Икс, у, г) "=" \frac{1}{2} м ю^{2} ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}) .

$V(x,y,z)={1\over 2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2).$ Я вижу по независимости потенциала в

x, y, z

$x,y,z$ координаты, что решение уравнения Шредингера будет иметь вид

ψ (Икс, у, г) "=" ф (Икс) г (у) час (г) .

$\psi(x,y,z)=f(x)g(y)h(z).$ Четко, что бы это было? Это

ψ (Икс, у, г) "=" с {ЧАС}_{н_{Икс}} {ЧАС}_{н_{у}} {ЧАС}_{н_{г}} е^{- \frac{м ю}{2 ℏ} ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2})},

$\psi(x,y,z) = cH_{n_x}H_{n_y}H_{n_z}e^{-{m\omega\over2\hbar}(x^2+y^2+z^2)},$ где

H_{n_{i}}

$H_{n_i}$ являются

i t h

$ith$ многочлен Эрмита? (Дополнительный вопрос: конечно, поскольку потенциал радиальный, существует форма решения в полярных координатах, которая может быть лучше? Но об этом не говорится в вопросе. Кроме того, означает ли изотропность только то, что потенциал сферически симметричен ? )

Сколько линейно независимых состояний имеют энергию

Е "=" ℏ ю (\frac{3}{2} + Н) ?

$E=\hbar\omega({3\over2}+N)~?$ Я должен считать количество комбинаций

n_{x}, n_{y}, n_{z}

$n_x,n_y,n_z$ ул.

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z = N$ ? Я смутно помню какое-то понятие

(n, l)

$(n,l)$ упоминалось однажды, но я не могу вспомнить, что это такое, и не могу найти немного заметок об этом.

JT_NL

@JM: Если вы видите в этом вопрос об операторе Орнштейна-Уленбека, он подходит сюда ;-).

йорики

Как бы мне ни хотелось ответить на этот вопрос, я думаю, что он относится к физике.SE. Ответы хорошо известны физикам. См., например , en.wikipedia.org/wiki/… .

Томаш Браунер

Ответы на все ваши вопросы здесь , см. в частности раздел о N-мерном гармоническом осцилляторе.

Уолтер В

Спасибо, Томас. Есть еще что-то, чего я не совсем понимаю. Соответствует ли основное состояние системы

N = 1

$N=1$ в

E = ℏ ω (\frac{3}{2} + N) = ℏ ω (\frac{3}{2} + n_{x} + n_{y} + n_{z})

$E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Но тогда я думаю, что

n_{i}

$n_i$ должно быть

\geq 1

$\geq1$ ? И я не совсем понимаю, что в данном контексте означают линейно независимые государства . Что я должен проверить, чтобы показать, что они LI?

Томаш Браунер

Основное состояние соответствует

N = 0

$N=0$ это все

n_{i}

$n_i$ должно быть

\geq 0

$\geq0$ . Оккупационные номера

n_{i}

$n_i$ являются собственными значениями взаимно коммутирующих эрмитовых операторов

a_{i}^{†} a_{i}

$a_i^\dagger a_i$ . Любые два состояния с разными наборами

n_{i}

$n_i$ поэтому ортогональны, а значит, и линейно независимы. Как вы говорите, чтобы найти вырождение энергетических уровней, вам просто нужно найти количество решений уравнения

n_{x} + n_{y} + n_{z} = N

$n_x+n_y+n_z=N$ с неотрицательными целыми числами

n_{i}

$n_i$ . Вы также можете получить тот же результат, используя квантовые числа в полярных координатах.

n, l

$n,l$ - для этого см. Википедию.

Ответы (1)

3D Квантовый гармонический осциллятор

@JM: Если вы видите в этом вопрос об операторе Орнштейна-Уленбека, он подходит сюда ;-).
Как бы мне ни хотелось ответить на этот вопрос, я думаю, что он относится к физике.SE. Ответы хорошо известны физикам. См., например , en.wikipedia.org/wiki/… .
Ответы на все ваши вопросы здесь , см. в частности раздел о N-мерном гармоническом осцилляторе.
Спасибо, Томас. Есть еще что-то, чего я не совсем понимаю. Соответствует ли основное состояние системы $N=1$ в $E=\hbar\omega\left({3\over2}+N\right)=\hbar\omega\left({3\over2}+n_x+n_y+n_z\right)$ ? Но тогда я думаю, что $n_i$ должно быть $\geq1$ ? И я не совсем понимаю, что в данном контексте означают линейно независимые государства . Что я должен проверить, чтобы показать, что они LI?
Основное состояние соответствует $N=0$ это все $n_i$ должно быть $\geq0$ . Оккупационные номера $n_i$ являются собственными значениями взаимно коммутирующих эрмитовых операторов $a_i^\dagger a_i$ . Любые два состояния с разными наборами $n_i$ поэтому ортогональны, а значит, и линейно независимы. Как вы говорите, чтобы найти вырождение энергетических уровней, вам просто нужно найти количество решений уравнения $n_x+n_y+n_z=N$ с неотрицательными целыми числами $n_i$ . Вы также можете получить тот же результат, используя квантовые числа в полярных координатах. $n,l$ - для этого см. Википедию.

вальдо · Answer 1

Ваше решение правильное (умножение решений 1D QHO).
Так как потенциал радиально симметричен - он коммутирует с оператором углового момента ( $L^2$ и $L_z$ например). Следовательно, вы можете построить решение вида $|nlm>$ где $n$ состояния для описания радиального состояния и $l_m$ - угловой. Это лучше? Зависит от проблемы. Это просто другая основа, в которой вы можете представить решение.
Изотропный - вероятно, имеется в виду то, что вы предполагаете - потенциал сферически симметричен. Зависит от контекста.
Да, вы должны посчитать количество комбинаций, где $n_x+n_y+n_z=N$ .

3D Квантовый гармонический осциллятор

Уолтер В

JT_NL

йорики

Томаш Браунер

Уолтер В

Томаш Браунер

Ответы (1)

вальдо

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Квантовый гармонический осциллятор, решенный аналитическим методом с использованием уравнения Шредингера и волновой функции

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]

Как определить волновую функцию свободной частицы в сложной потенциальной функции?

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?

Гармонический осциллятор, модифицированный бесконечной ямой: возможны ли аналитические решения?